關於樹論動態樹問題（LCT）

搬運：看一道caioj1439

題目描述

一開始給你一棵n個點n-1條邊的樹，每個點有乙個權值wi。

三種操作：

op=1 u v :在點u和點v之間建一條邊。

op=2 u v:摧毀點u到點v之間的邊。

op=3 w u v:將點u和點v之間路徑上的點（包括u,v），權值增加w。

op=4 u v:詢問點u到點v之間路徑上的點（包括u,v），權值最大值。

當操作違法時（詢問一中u,v已經相連，二三四中u,v不聯通，一二操作u==v）不進行操作並輸出-1。

輸入從檔案weight.in中讀取輸入。

第1行為1個正整數n，表示點的個數。

第2~n行為開始樹所有的邊，每行兩個正整數u,v，代表u和v之間有一條邊。

第n+1行有n個正整數，表示一開始點的權值。

下一行為乙個正整數m代表下來有m個操作。

以下m行，一行表示乙個操作。

行首先輸入乙個正整數op。

當op=1,2,4時，輸入兩個正整數u,v

當op=3時，輸入三個正整數w,u,v

操作如題意

輸出輸出到檔案weight.out。

對每個4操作，輸出點u到點v之間路徑上的點（包括u,v），權值最大值。同時對於違法情況輸出-1。

該類動態樹問題乙個突出點就是動態，假如沒有1、2操作當然可以方便的運用樹鏈剖分演算法水過（詳見第8章樹鏈剖分）。前一章的伸展樹只支援改變樹的形態，難以對樹的結構進行改變，對於建邊刪邊的操作的需要，我們要運用多棵伸展樹組成新樹，即解決該類動態樹問題的普遍方法，link-cut-tree，俗稱lct。

它跟樹鏈剖分類似，只不過樹剖用線段樹維護重鏈，而lct用伸展樹（是不是很高大上），在兩棵伸展樹之間，如果它們屬於同乙個lct，那麼將有一條虛邊，連線著它們，在不影響伸展樹的正常操作前提上，保持應有的連繫。

大家可以感性的認識….可以假設一開始問題給出的樹邊都是虛邊，我們人為的在上面畫重鏈，每條重鏈用一棵伸展樹維護他（就跟線段樹乙個道理嘛，目標是減少暴力列舉的時間，只不過伸展樹更加快捷靈活），關鍵的，如果沒有連邊刪邊操作，同伸展樹一樣，整棵樹的結構是不變的。

當然啦，題目也可能給出很多棵樹，我們可以臆想一下，這些樹都屬於0節點的子樹，只不過他們連的邊被「操作刪除」了，這樣也是合理的。同樣道理，當我們在解決動態樹問題的過程中，有時也會出現這棵樹被分成多份。也就是說，link-cut-tree本質上這個圖可以是乙個森林。

講講操作吧。

最重要的access(x)：令x到當前所處的樹的根這條路徑成為偏愛路徑(相當於樹剖的重鏈)，然後用splay維護，這是與樹剖最大的不同，這樣的靈活性也符合動態樹。

make_root(x)：令x成為當前樹的根，但是！！不是在當前重鏈中伸展樹的根，也不是整個圖中所有點的根，而是，x當前所處的樹的根！由於lct的link和cut操作，注定了整個圖可能出現多棵樹，樹與樹之間如果不新增邊，都是乙個獨立的動態樹。

link(x,y)：讓x成為根，然後連一條虛邊到y就ok了。

cut(x,y)：先將x設為根（假設現在是點1）假設y是點6，那我們將1~6的路徑設為偏愛路徑（放在一棵伸展樹里）將6旋轉到伸展樹的根，可以發現，點1肯定在伸展樹的最左端，讓y斷開與左端的連線就行了。

findroot(x)：同理，真正在樹中的根肯定在樹的最左邊，所以說找根其實很簡單。

ps：所以在make_root後要讓整棵伸展樹翻轉，比如說將6變為根，1,4都在它左邊，這樣就不科學了。

#include#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
struct
node
tr[310000
];void add(int
x)void update(int
x)void reverse(int
x)void rotate(int x,int
w)int tmp[310000
];void splay(int x,int
rt) 
tmp[++s]=i;
while(s!=0
)    
while(tr[x].f!=rt&&(tr[tr[x].f].son[0]==x||tr[tr[x].f].son[1]==x))//
還有虛邊啊！
else
else
if(tr[f].son[1]==x&&tr[ff].son[0]==f)
else
if(tr[f].son[0]==x&&tr[ff].son[1]==f)
else
if(tr[f].son[1]==x&&tr[ff].son[1]==f)}}
}int n,w[310000
];void
make_tree()
}void access(int x)//
訪問x 
//還記得樹剖的重兒子嗎？這是令點x到整棵動態樹的根這條路徑變成偏愛路徑(相當於樹剖的重鏈)，這一條路徑就是一棵伸展樹。 
}void makeroot(int x)//
讓x成為當前樹的根
void link(int x,int
y)void cut(int x,int
y)int find_root(int x)//
訪問完x後，x所屬的伸展樹的最左端的點就是所在樹真正的根，因為伸展樹實際意義上就是一條鏈啊！！ 
void increase(int x,int y,int w)//
令x，y處於一棵伸展樹，y為根，由於是鏈，直接更新y的ad就行了 
int findmax(int x,int y)//
同理，這也是一樣的 
struct
edge
e[310000
];int
main()
else
if(op==2
)            
else
if(op==3
)            
else
}printf("\n
");}
return0;
}

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動態樹LCT 模板

詳解動態樹 LCT）

動態樹 LCT 錯誤總結

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