很久之前就聽說過這個演算法，當時六校聯考的時候day1t1是一道很有意思的遞推，神仙zzx不會做於是就拿bm演算法艹出了遞推式orzzzzzzzzzzx
推薦一篇講的詳細的不能再詳細的部落格
我就不詳細說了，只記一下自己感覺比較難理解的地方
設\(r(m)\)表示序列的遞推式且長度為\(m\)
\(f(r, i)\)表示\(\sum_^m r_j * a[i - j]\)
\(\delta(r, i)\)表示\(a[i] - f(r, i)\)
\(fail_i\)表示第\(i\)個遞推式出錯的位置
對於某乙個位置\(i\)，如果我們求出的\(\delta(r, i) \not = 0\)，這時候我們需要構造乙個遞推式\(r'(m')\)，滿足\(\forall j \in [m' + 1, i - 1] f(r', j) = 0\)且\(f(r, i) = \delta(r, i)\)
這樣我們令\(r = r + r'\)就得到新位置的遞推式了
\(r'\)可以這麼構造
設\(mul = \frac)}\)
那麼\(r' = \ \}\)
\(0\)的個數為\(i - fail_ - 1\)
至於為什麼這麼構造是對的，我思考了挺長時間，簡單的證明一下
首先對於\(\forall j \in [m' + 1, i - 1]\), \(\delta(r', j) = 0\)
仔細想了想，，發現自己並不會證。。如果哪位大佬會的話可以教教本蒟蒻
感性理解就是因為\(r\)在\([1, m]\)處滿足任意位置為\(0\)，然後右移一下還滿足？。。
至於為什麼\(f(r', i) = \delta(r, i)\)
可以這麼考慮，前\(i - fail_ - 1\)個位置產生的貢獻為\(0\)
\(mul\)產生的貢獻為\(mul * a_}\)
\(-mul * r_\)產生的貢獻為\(-mul * (a[fail_] - \delta(r, fail_)\)
合併同類項後可以得到\(mul * \delta(r, fail_) = \delta(r, i)\)
**如下
#includeusing namespace std;
const int maxn = 2005;
const double eps = 1e-8;
int cnt, fail[maxn];
double val[maxn], delta[maxn];
vector ans[maxn];
int main()
double mul = delta[i] / delta[fail[cnt - 1]];
cnt++; ans[cnt].resize(i - fail[cnt - 2] - 1);
ans[cnt].push_back(mul);
for (int j = 0; j < ans[cnt - 2].size(); j++)
ans[cnt].push_back(ans[cnt - 2][j] * -mul);
if (ans[cnt].size() < ans[cnt - 1].size()) ans[cnt].resize(ans[cnt - 1].size());
for (int j = 0; j < ans[cnt - 1].size(); j++)
ans[cnt][j] += ans[cnt - 1][j];
} for (int i = 0; i < ans[cnt].size(); i++)
cout << ans[cnt][i] << ' ';
return 0;
}
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