今天的模擬賽裡t2要使用到數論分塊，裡面有乙個重要的坎就是關於r=sum/（sum/l）的證明，網上關於這道題的題解裡都沒有關於這個的證明，那麼我就來填補一下：
在以下的文章裡，我都會使用lo（x）表示對x向下取整，同理up（x）表示對x向上取整;
我們要求左右區間的邊界，那麼我們就不妨設 取兩個數 i 和 i『 使得lo（n/i'）==lo（n/i）則，我們就可以證明
設 lo（n/i）=k;則有 k*i+p=n (p一定有 0<=p所以 ： p'=n-k*i-k*d ;
因為 p=n-k*i;
so p'=p-k*d;
because k*d=n-k*i-p'=p-p' also because 0<=p<=i
so k*d+p'=p -> d(max)=lo(p/k); (this can make each other !)
because i'=i+d(max)=i+lo(p/k)=i+lo((n%i)/(n/i));
-> i+lo((n-lo(n/i)*i)/lo(n/i));
->lo(i+lo((n-lo(n/i)*i)/lo(n/i)));
->lo((lo(n/i)*i)/lo(n/i)+((n-lo(n/i)*i)/lo(n/i)));
->lo(n/lo(n/i));
證明完畢！！（學校輸入法真的難使，我也不想打英文的！）
更加帥氣的證明：
設floor(x)表示小於等於x的最大整數，那麼若有 floor(n/i)=floor(n/i') ,則i'的最大值為floor(n/floor(n/i));
證明：我們設 floor(n/i)=k ,顯然一定有整數p∈[0,i)滿足 k*i+p=n ;
則 p=n-k*i ;
設 d=i-i';
若有整數p'滿足 k=floor(n/(i+d)),n=k*(i+d)+p',
那麼p'=(n-k*i)-k*d=p-k*d,即 k*d=p'-p;
又∵ p∈[0,i) ∴當d取得最大值dmax時 k*dmax+p'=p，dmax=floor(p/k);
i'=i+dmax
=i+floor(p/k)
=i+floor((n%i)/(n/i))
=i+floor((n-floor(n/i)*i)/floor(n/i))
=floor(i+floor((n-lo(n/i)*i)/floor(n/i)))
=floor((floor(n/i)*i)/floor(n/i)+((n-floor(n/i)*i)/floor(n/i)))
=floor(n/floor(n/i))
即 i'=floor(n/floor(n/i));
得證 。
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