獨樹一幟的字串匹配演算法 RK演算法

參加了雅虎2015校招，筆試成績還不錯，誰知初面第一題就被問了個字串匹配，要求不能使用kmp，但要和kmp一樣優，當時瞬間就呵呵了。後經過面試官的一再提示，也還是沒有成功在面試現場寫得。現將該演算法記錄如下，思想絕對是字串匹配中獨樹一幟的

字串匹配

存在長度為n的字元陣列s[0...n-1]，長度為m的字元陣列p[0...m-1]，是否存在i，使得sisi+1...si+m-1等於p0p1...pm-1，若存在，則匹配成功，若不存在則匹配失敗。

rk演算法思想

假設我們有某個hash函式可以將字串轉換為乙個整數，則hash結果不同的字串肯定不同，但hash結果相同的字串則很有可能相同（存在小概率不同的可能）。

演算法每次從s中取長度為m的子串，將其hash結果與p的hash結果進行比較，若相等，則有可能匹配成功，若不相等，則繼續從s中選新的子串進行比較。

假設進行下面的匹配：

s0s1

...si-m+1

si-m+2

...si-1

sisi+1

...sn-1

p0p1

pm-2

pm-1

情況一、hash(si-m+1...si) == hash(p0...pm-1)，此時si-m+1...si與p0...pm-1有可能匹配成功。只需要逐字元對比就可以判斷是否真的匹配成功，若匹配成功，則返回匹配成功點的下標i-m+1，若不成功，則繼續取s的子串si-m+2...si+1進行hash

情況二、hash(si-m+1...si) != hash(p0...pm-1)，此時si-m+1...si與p0...pm-1不可能匹配成功，所以繼續取s的子串si-m+2...si+1進行hash

可以看出，不論情況一還是情況二，都涉及乙個共同的步驟，就是繼續取s的子串si-m+2...si+1進行hash。如果每次都重新求hash結果的話，複雜度為o(m)，整體複雜度為o(mn)。如果可以利用上乙個子串的hash結果hash(si-m+1...si)，在o(1)的時間內求出hash(si-m+2...si+1)，則可以將整體複雜度降低到線性時間

至此，問題的關鍵轉換為如何根據hash(si-m+1...si)，在o(1)的時間內求出hash(si-m+2...si+1)

設計hash函式為：hash(si-m+1...si) = si-m+1*xm-1 + si-m+2*xm-2 + ... + si-1*x + si

則 hash(si-m+2...si+1) = si-m+2*xm-1 + si-m+3*xm-2 + ... + si*x + si+1

= (hash(si-m+1...si) - si-m+1*xm-1) * x + si+1

hash結果過大怎麼辦？對某個大素數取餘數即可（經典方法），稱其為hashsize

所以，hash函式更新為：hash(si-m+1...si) = (si-m+1*xm-1 + si-m+2*xm-2 + ... + si-1*x + si) % hashsize

則 hash(si-m+2...si+1) = (si-m+2*xm-1 + si-m+3*xm-2 + ... + si*x + si+1) % hashsize

= ((hash(si-m+1...si) - si-m+1*xm-1) * x + si+1) % hashsize

設計演算法時需要注意的幾點：

1、可提前計算出hash(p0...pm-1)和xm-1並儲存

2、char c 的取值範圍為0~255，計算hash結果時會自動型別提公升為int，為避免符號位擴充套件，使用 (unsigned int)c & 0x000000ff

3、hash(si-m+1...si) - si-m+1*xm-1 的結果可能為負數，需先加上 si-m+1*hashsize 並最後 % hashsize 來保證結果非負

具體**如下：

1
#define unsigned(x) ((unsigned int)x & 0x000000ff)
2#define hashsize 1000001934
int hashmatch(char* s, char*p) 
18     i = m - 1;19
do27         i++;
28if (i >=n)
29break;30
//o(1)時間更新s子串的hash結果
31         sv = (sv + unsigned(s[i - m]) * (hashsize - base)) %hashsize;
32         sv = (sv * 10 + unsigned(s[i])) %hashsize;
33     } while (i 
3435
return -1
;36 }

時間複雜度分析：迴圈複雜度o(n)，hash結果相等時的逐字元匹配複雜度為o(m)，整體時間複雜度為o(m+n)。空間複雜度為o(1)執行時間pk

隨機生成10億位元組（1024*1024*1023）的字串儲存到檔案num.txt中，讀出到字串s中，p長度為1024*10位元組，分別使用rk演算法和kmp演算法進行實驗

從檔案num.txt中讀取字串到s中所需時間為：

匹配成功時，rk演算法匹配所需時間為：

匹配成功時，kmp演算法匹配所需時間為：

匹配不成功時，rk演算法匹配所需時間為：

匹配不成功時，kmp演算法匹配所需時間為：

演算法優化

在上面的測試中rk演算法還是慢於kmp的，優化從兩點出發：一是用其他運算代替取模運算，二是降低hash衝突。

先解決降低衝突的問題，在之前的**中，我們使用了x=10，假設存在char值為2,20,200的三個字元a,b,c，可以發現a*1000，b*100，c*10的hash結果是相同的，也就是發生了衝突，所以取大於等於256的數做x則可以避免這種衝突。另外hashsize的大小也會決定衝突發生的概率，hashsize最大可以多大呢？對於unsigned int來說，總共有2^32次方個，所以可以取hashsize為2^32次方。而計算機對於大於等於2^32次方的數會自動捨棄高位，其剛好等價於對2^32次方取模，即對hashsize取模，所以便可以從**中去掉取模運算。

優化後的**如下（**中d即上文中的x）：

1
#define unsigned(x) ((unsigned char)x)
2#define d 25734
int hashmatch(char* s, char*p) 
19     i = m - 1;20
do28         i++;
29if (i >=n)
30break;31
//o(1)時間內更新sv, sv + unsigned(s[i - m]) * (~base + 1)等價於sv - unsigned(s[i - m]) * base
32         sv = (sv + unsigned(s[i - m]) * (~base + 1)) * d +unsigned(s[i]);
33     } while (i 
3435
return -1
;36 }

匹配成功時，優化後rk演算法匹配所需時間為：

匹配不成功時，優化後rk演算法匹配所需時間為：

可以看出，優化後的rk演算法已經在時間上優於kmp了。而且大小為2^32次方的hashsize也保證了s的10億個子串基本不會發生衝突。

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