\(n + 1\) 個點\((x_i, y_i)\)可以唯一地確定乙個不超過\(n\)次的多項式
比較直觀的做法是待定係數法然後高斯消元解方程
不過複雜度是\(o(n^3)\)的，不是特別優秀
那有沒有更快的做法呢？
考慮建構函式\(l(x)\)，使得\(l(x)\)隨著自變數\(x_i\)的變化，對應的就是\(y_i\)這個值
\[l(x) ~=~ \sum_^y_i ℓ_i(x)
\]其中\(ℓ_i(x)\)為拉格朗日基本多項式，其表示式為:
\[ℓ_i(x) ~=~ \prod_ \frac
\]發現對於給定的 \(n + 1\) 個 \(x\)，當且僅當 \(x = x_i\) 時 \(ℓ_i(x) = 1\)，否則 \(ℓ_i(x) = 0\)，這表明了構造成立
當需要求 \(x=k\) 時的函式值時，可以直接將 \(k\) 帶入 \(l(x)\) 即可，複雜度 \(o(n^2)\)
若給定點值的 \(x\) 是連續的整數時，可以預處理階乘做到 \(o(n)\) 求點值
拉格朗日重心插值法是拉格朗日插值法的一種改進
不難發現每次計算\(ℓ_i\)時其實是算了很多重複的東西，我們可以把它簡化一下
設\[ℓ(x) = \prod_^ (x - x_i)
\]定義重心權
\[w_i = \frac 1 ^(x_i - x_j)}
\]可以將拉格朗日基本多項式重新寫為：
\[ℓ_i(x) ~=~ ℓ(x)\frac \]則
\[l(x) ~=~ ℓ(x)\sum_^n \frac
\]優勢:
每次新增加乙個點，一般拉格朗日插值會重新計算一次達到\(~o(n^2)~\)的複雜度，而重心拉格朗日插值只需要\(~o(n)~\)計算\(~w_i~\)即可
\(\color \)
拉格朗日插值
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