BZOJ1084 SCOI2005 最大子矩陣

bzoj1084: [scoi2005]最大子矩陣

這裡有乙個n*m的矩陣，請你選出其中k個子矩陣，使得這個k個子矩陣分值之和最大。注意：選出的k個子矩陣不能相互重疊。

第一行為n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下來n行描述矩陣每行中的每個元素的分值(每個元素的分值的絕對值不超過32767)。

只有一行為k個子矩陣分值之和最大為多少。

3 2 2

1 -3

2 3-2 3

9最大子矩陣嘛。。。

當然$dp$。。。

然後看見$m\in[1,2]$，果斷分類討論：

普通的最大連續欄位和，只不過是$k$個：

設$dp[i][j][0/1]$表示前$i$個數中取出$j$個矩形的最大和。

$0/1$表示第$i$gre數字不選或選。

轉移方程：

$$dp[i][j][0]=\max\left\{}dp[i-1][j][1]\\dp[i-1][j][0]\end\right.$$

$$dp[i][j][1]=\max\left\{}dp[i-1][j][1]\\dp[i-1][j-1][0]\end\right.$$

最後答案就是$\max\$。

我們考慮每一行能有什麼狀態：

$0$：空出這一行。

$1$：選擇左邊空出右邊.

$2$：選擇右邊空出左邊。

$3$：選擇這一行兩個，並且不作為乙個矩陣，而是左邊一列單獨乙個矩陣，右邊單獨乙個矩陣。

$4$：選擇這一行兩個，並且兩個一塊作為乙個矩陣的一部分。

定義$dp[i][j][k]$為當前處理到第$i$行，已經選了$j$個矩陣，當前行狀態為$k$的最大值，$k\in[0,4]$。

$$dp[i][j][0]=\max\left\{}dp[i-1][j][0]\\dp[i-1][j][1]\\dp[i-1][j][2]\\dp[i-1][j][3]\\dp[i-1][j][4]\end\right.$$

2. 如果選擇左邊空出右邊：

如果上一行的左邊沒有單獨地選擇成為矩陣，即選擇$1$或$3$，則$j$需要包含新選擇成為的矩陣。

即這一行的左邊的這個矩陣。

如果上一行為同時選擇兩列的為乙個矩陣的狀態，則只選擇單獨的左邊是不能包含進去上一行的矩陣的，所以也應$j-1$。

設這一行左邊的值為$v_1$，則有轉移方程：

$$dp[i][j][1]=\max\left\{}dp[i-1][j-1][0]\\dp[i-1][j][1]\\dp[i-1][j-1][2]\\dp[i-1][j][3]\\dp[i-1][j-1][4]\end\right\}+v_1$$

3. 右邊同理：

設這一行右邊的值為$v_2$，則有轉移方程：

$$dp[i][j][2]=\max\left\{}dp[i-1][j-1][0]\\dp[i-1][j-1][1]\\dp[i-1][j][2]\\dp[i-1][j][3]\\dp[i-1][j-1][4]\end\right\}+v_2$$

4. 選擇兩個分別單獨作為矩陣，類似只選擇左邊或右邊，不過是單獨選左邊和右邊合併了下：

$$dp[i][j][3]=\max\left\{}dp[i-1][j-1][1]\\dp[i-1][j-1][2]\\dp[i-1][j][3]\\dp[i-1][j-2][4]\quad j\geq 2\end\right\}+v_1+v_2$$

$$dp[i][j][4]=\max\left\{}dp[i-1][j-1][0]\\dp[i-1][j-1][1]\\dp[i-1][j-1][2]\\dp[i-1][j-1][3]\\dp[i-1][j][4]\end\right\}+v_1+v_2$$

好了，這個題就這麼做完了。

真是噁心啊。。。

然後這個題如果資料範圍再大一點，涉及到卡常的話，有個小優化：

當我們的程式要多次呼叫$dp[i][j][k]$並且只有$k$在瘋狂變化時，我們可以預先把$dp[i][j]$當成指標存入*$p$中。

這樣我們就不用每次都計算三維的$dp[i][j][k]$，而是直接呼叫$p[k]$。

這個優化可以瘋狂卡常。。。

因為$c++$中查詢乙個多維的陣列，要先進行複雜的乘法計算，然後再取位址，呼叫值。

這個優化直接把這個每次計算省掉了。

不過對於這個題好像沒有什麼用。。。

附**：

#include#include#include#include#define maxn 110
using namespace std;
int n,m,q,ans;
int val[maxn][3],dp[maxn][12][5];
inline int read()
while(c>='0'&&c<='9')
return date*w;
}void solve_one()
ans=max(dp[n][q][0],dp[n][q][1]);
printf("%d\n",ans);
}void solve_two()
ans=max(dp[n][q][0],max(max(dp[n][q][1],dp[n][q][2]),max(dp[n][q][3],dp[n][q][4])));
printf("%d\n",ans);
}void work()
void init()
int main()

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