其實很早就有這些這個的慾望了。。。
但是由於種種原因（包括班主任），一直咕到現在。。。
咕咕咕。。。
不能再咕下去了！
於是熬夜來寫這個。
先看乙個例題：bzoj1568: [jsoi2008]blue mary開公司
其實這個算是裸題了。。。
當然我做的第一道李超樹的題不是這個。。。
題目要求區間內的所有直線的最高點的最大值。
並且帶插入。
裸的暴力$o(nm)$對吧。
然後呢？
第一想法是——分治！
將乙個區間$[l,r]$分成$[l,mid],[mid+1,r]$兩個區間，遞迴求解。
合併答案就取最大值就好。
這樣，我們便得出來乙個$o(mn\log_2n)$的演算法。。。
你會說：「這個演算法複雜度還沒暴力跑得快，我要他幹嘛？？？」
誠然，暴力跑得比它快得多。。。
但是你覺得這個演算法如果沒有用的話，我會講它嗎？
我們回頭看我們分治的過程：將區間一分為二，且區間大小相等。
沒錯！這個資料結構就是——線段樹！
是不是很厲害！
為什麼？因為我們找到了一種資料結構來維護這玩意了！
所以線段樹每個點存區間最大值就好。
$but$！這麼做還有乙個問題：插入線段怎麼辦？
你會想：用最大值覆蓋不就好了？
那麼問題又來了：線段是有斜率的。
也就是說，在不同的點，線段的函式值是不同的。
你怎麼知道當前的點的函式值是多少呢？
可能你又會想：那我就暴力帶值進線段，把函式值算出來不就好了？
那麼恭喜，你離深淵越來越近了。
你會發現你的每一次維護都會涉及到最多$4n$個節點。
那和暴力有什麼區別？？？
所以這個方案被我們捨棄了。
那怎麼辦呢？
對於這個問題，國家隊隊爺李超提出一種解決辦法：
我們把線段樹中存的值從區間最大值改為區間中值最大的直線。
每個節點至少會存一條直線。
但是多條直線呢？
我們可以打乙個標記，說明再這個區間內至少有乙個兩條直線的轉折點。
然後遞迴插入直線。
具體做法是這樣的：
假設原來在$[l,r]$這個區間內只有一條直線$f_1(x)=k_1x+b_1$。
現在要在區間內插入一條新直線$f_2(x)=k_2x+b_2$。
然後便是分類討論：
1. 如果$f_1(l)\geq f_2(l),f_1(r)\geq f_2(r)$：
說明$f_2(x)$在這個區間內被$f_1(x)$吊打，那麼不做任何操作；
2. 如果$f_1(l)\leq f_2(l),f_1(r)\leq f_2(r)$：
說明$f_1(x)$在這個區間內被$f_2(x)$吊打，那麼直接替換即可；
3. 如果$f_1(l)\geq f_2(l),f_1(r)\leq f_2(r)\textf_1(l)\leq f_2(l),f_1(r)\geq f_2(r)$：
說明兩直線在這個區間內有交點。
這時，我們取區間中點$mid$，判斷兩直線在$[l,mid]$之間是否相交：
若是，則右區間$[mid+1,r]$賦為在上方的曲線，左區間遞迴求解；
否則，左區間$[l,mid]$賦為在上方的曲線，右區間遞迴求解。
這樣，我們的一次插入直線操作完成。
而遞迴修改最多會涉及到$\log_2n$個節點。
所以一次修改的複雜度上限為$o(\log_2^2n)$。
然後，這題還需要用到標記永久化。
即我們不下傳標記，在求區間最大值的時候，每次訪問到乙個被詢問區間包含的區間，把答案和這個區間所維護的線段的最大值取$max$。
然後這個題就做完了。
不得不說非常的機智啊！
所以這種線段樹被稱為——李超樹。
複雜度$o(m\log_2^2n)$。
瘋狂維護半平面交。。。
**的話。。。可以去題解裡找：
類似的板子題：
我做的第一道李超樹題：（萬事開頭難。。。）
其實李超樹不建議在考場上寫。
因為這玩意的修改很容易寫炸。。。
並且查錯及其噁心。。。
對於大多數$ds$能力不是極其強悍的$oier$來說，價效比並不是很高。
因為一般這種題的部分分都比正解的價效比高。。。
所以不是隊爺不寫正解。。。
而對於我這個菜雞$afo$選手來說，可以浪一浪。。。
出題人，我勸你善良。。。
李超樹 學習筆記
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