kdtree學習記錄

這篇文章當做乙個記錄啦qwq

參考：《k-d tree在資訊學競賽中的應用》（n+e, 2016-07-31）

一棵二叉樹（類似於bst二叉排序樹）來維護乙個k維空間。每個節點表示的是乙個k維空間的區域。

每個節點還儲存這乙個具體的點，以它的某個座標來劃分出兩個k維的空間，為這個節點的兒子所代表的區域。

我們姑且稱這個具體的點為代表點。

啥意思呢？

struct

node ;

第1維 [mi[0], mx[0]]；第2維 [mi[1], mx[1]]；...；第k維 [mi[k], mx[k]]

l和r儲存的是按照代表點的某個座標來進行劃分的兩個k維的空間。

為了使得區間平均，我們通常採用按照每個座標輪流劃分。

比如：平面，那麼就是2維空間，依次按照 橫、縱、橫、縱、……劃分

3維空間，依次按照 橫、縱、高、橫、縱、高、……劃分

這樣可以使得劃分出來的空間盡量平均。

比如乙個平面的劃分方案如下，右圖為對應的k-d tree

劃分的過程中，我們需要找到乙個代表點，這個代表點通常選取按用來劃分的座標排序的中位數這個點。

stl有乙個方便的nth_element可以實現這個功能。

構造應該比較簡單？不放**啦。

然後是插入乙個點。

從根往下比較，跟bst類似，就能找到插入的位置了。

下面是乙個二維的示範，up裡面可以維護資訊，「。。。」裡面就是把資訊扔到k-d tree的過程。

以下**如果沒有特別說明，ls為t[x].l；rs為t[x].r（預define了）

inline void insert(int &x, int

d)     
if(tmp ==t[x]) 
if(tmp.d[d] < t[x].d[d]) insert(ls, d^1
);    
else insert(rs, d^1
);    up(x);
}

inline int query(int x, int x1, int y1, int x2, int

y2) 

然後我們發現如果k-d tree的乙個區間被插入了好多次那麼複雜度會退化（bst沒有帶平衡）

解決這個問題的辦法有兩個：

乙個比較暴力，就是我的k-d tree的節點個數達到閾值size的整數倍的時候，就把k-d tree的節點拎出來，重構k-d tree即可。

閾值3000-10000（大概

這是乙個二維的例子，t裡存的是拎出來的舊節點。

inline int rebuild(int l, int r, int

d) 

這個複雜度是對的，就是寫起來還要多維護乙個size，我這麼懶的人肯定是留著坑以後再說啊。。

（不過前面乙個複雜度也是對的吧）

對於一些問題的估價：

比如我要詢問(x,y)到平面上哪個點歐幾里得距離最小啊之類的。

距離最小：乙個點離當前域的最小距離（在域內為0）

距離最大：乙個點離當前域的最大距離

常見估價：（可以理解）

那麼詢問(x,y)離哪個點xx距離最小的話。。

就是看看估價，優先訪問估價低的。如果最小可能距離都比當前答案大，就不用取管了。

複雜度o(logn)（隨機），o(根號n)（構造）

kdtree估價例題：

反正。。挺優秀的。

k-d tree還可以代替很多類似什麼三維偏序啊之類的為題

k維k-d tree的查詢複雜度約為o(n^(1-1/k))

那麼可持久化樹套樹（三維空間的求值）就能在o(n^(5/3))的時間內求出來啊！

論寫優秀暴力的重要性。

好了大概講這麼多（去睡覺啦qwq

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