k
維檢索樹類似於二叉檢索樹，不同的是，它能同時提供多維度屬性的檢索。
k維（從
0開始計維數）檢索樹的定義：
k維檢索樹是乙個
n層的二叉樹（根節點為第
0層，依次往下為第
1,2..n-1
層），對於樹中第
n層的每個節點，其左子樹所有節點的第
n%k維屬性小於或等於該節點的第
n%k維屬性；其右子樹所有節點的第
n%k維屬性都大於或等於該節點的第
n%k維屬性。通俗的講，就是將整個樹的層數迴圈標記為0到
k-1，在第
0層比較第
0為屬性，在第
1層比較第
1層屬性，依此類推。
假設a-g
代表二維空間的點(由
x,y二維座標標示
)，則依次插入
a-g節點到樹中會構成如下所示的樹。
插入a樹為空，
a作為根節點
插入b
與a比較第0
維屬性，進入左子樹，左子樹為空，直接插入
插入c
與a比較第0
維屬性，進入右子樹，右子樹為空，直接插入
插入d
與a比較第0
維屬性，進入左子樹，與
b比較第
1維屬性，進入左子樹…
插入e 與
a比較第
0維屬性，進入左子樹，與
b比較第
1維屬性，進入右子樹…
插入f 與
a比較第
0維屬性，進入右子樹，與
c比較第
1維屬性，進入右子樹…
插入g 與
a比較第
0維屬性，進入左子樹，與
b比較第
1維屬性，進入左子樹，與d
比較第0
維屬性，進入左子樹…
演算法時間複雜度：
查詢：從根節點逐層比較，直到遇到目標或者子樹為空，時間複雜度為
o(logn)
。插入：從根節點逐層比較，按照定義的規則直到遇到葉子節點，時間複雜度為
o(logn)
。刪除：對於葉子節點，或只有單分支子樹的節點，直接刪除，否則找到右子樹的最左節點或左子樹的最右節點，替換掉被刪節點，演算法複雜度
o(logn)
。優化：將樹優化為平衡樹，將樹的節點匯出至
vector
中，並清空樹，將
vector
集合按第一維屬性，分成兩堆，左邊比中間元素小，右邊比中間元素大（
nth-element
），將中間元素插入到樹中，遞迴將左右兩堆的元素插入到左子樹、右子樹（比較時根據層數比較對應的維度值）。優化的時間複雜度為o（
nlogn
）。區間查詢：從根節點起，檢查根節點是否符合條件，如果符合加入至結果集中；如果左子樹跟目標區間有交集，遞迴查詢左子樹；如果右子樹跟目標區間有交集，查詢右子樹。（設定乙個動態區間，初始時與目標區間相同，進入左子樹，則要更新動態區間對應維度的上限；若進入右子樹，則要更新動態區間對應維度的上限；通過判斷動態和目標區間是否有交集可以看出需要進入左右子樹，從而減少查詢空間）。
更詳細的了解參考**：
multidimensional binary search trees used for associative searching
libkdtree++是乙個
c++實現的
kdtree lib
，提供了
insert
、erase
、optimise
、find_exact
、find_within_range
、find_nearest
等介面。
find_with_range(val, range, outputiterator)
不能滿足需求，因只能指定每維屬性在
val[k] – range
到val[k] +
range
的範圍內。因為需要支援任意區間查詢，而
kdtree++
沒有提供
需要的介面，我在
kdtree
的實現中增加了
find_within_range(vmin,
vmax, outputiterator)
介面，同時需要給
region
新增乙個建構函式。
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