機器學習中的數學

二、第二課時

1）極限：

通俗語言：函式f在\(x_0\)處的極限是l

數學符號：\(\lim_ f(x) = l\)

無窮如何比較大小呢？如x趨近0的時候，\(sin(x)\)和\(tan(x)\)同樣都趨近0，哪個趨近0的速度更快呢？我們可以採用求商的極限來求解：\(\lim_ sin(x)/tan(x) = \lim_ cos(x) = 1\)，所以是同樣級別的無窮小

夾逼定理：如果三個函式滿足：\(f(x) <= g(x) <= h(x)\)，並且他們在\(x_0\)處均有極限，則：\(\lim_ f(x) <= \lim_ g(x) <= \lim_ h(x)\)

幾個重要的極限：

\(\lim_ sin(x)/x = 1\)

\(\lim_ x^a/e^x = 0\)，對於任意的正數\(a\)

\(\lim_ ln(x)/x^a = 0\)，對於任意的正數\(a\)

\(\lim_ (1 + 1/x)^x = e\)

2）導數

如果乙個函式\(f(x)\)在\(x_0\)附近有定義，並且存在極限：\(l = \lim_ \frac\)，那麼\(f(x)\)在\(x_0\)處可導且導數\(f'(x_0) = l\)

3）鏈式法則：即符合函式的求導法則

如：\(y = x^x\)，求其導數。兩邊取對數：\(lny = xlnx\)，然後兩邊同時求導：\((1/y)y'=lnx + 1\)，\(y' = (lnx + 1)x^x\)

三、第三課時

1）單變數函式的黎曼積分：

\(f(x)\)為開區間(a, b)上的乙個連續函式，對於任意乙個正整數n，我們定義：\(x_i = a + i(b - a)/n\)，求和式：\( s_n(f) = \sum_^f(x_i)(x_ - x_i) \)

如果極限\(\lim_s_n(f)\)存在，那麼函式\(f(x)\)在這個區間上的黎曼積分為：\( \int_^f(x)dx = \lim_s_n(f) \)

我們可以這樣理解：把區間分成n份，求函式與x軸的面積和