機器學習中的數學拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法：應用在求有約束條件的函式的極值問題上。

通常我們需要求解的最優化問題有如下幾類：

(i) 無約束優化問題，可以寫為:

min f(x);

(ii) 有等式約束的優化問題，可以寫為:

min f(x),

s.t. h_i(x) = 0; i =1, ..., n

(iii) 有不等式約束的優化問題，可以寫為：

min f(x),

s.t. g_i(x) <= 0; i =1, ..., n

h_j(x) = 0; j =1, ..., m

對於第(i)類的優化問題，常常使用的方法就是fermat定理，即使用求取f(x)的導數，然後令其為零，可以求得候選最優值，再在這些候選值中驗證；如果是凸函式，可以保證是最優解。

對於第(ii)類的優化問題，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（lagrange multiplier) ，即把等式約束h_i(x)用乙個係數與f(x)寫為乙個式子，稱為拉格朗日函式，而係數稱為拉格朗日乘子。通過拉格朗日函式對各個變數求導，令其為零，可以求得候選值集合，然後驗證求得最優值。

對於第(iii)類的優化問題，常常使用的方法就是kkt條件。同樣地，我們把所有的等式、不等式約束與f(x)寫為乙個式子，也叫拉格朗日函式，係數也稱拉格朗日乘子，通過一些條件，可以求出最優值的必要條件，這個條件稱為kkt條件。

(a) 拉格朗日乘子法（lagrange multiplier)

對於等式約束，我們可以通過乙個拉格朗日係數a 把等式約束和目標函式組合成為乙個式子l(a, x) = f(x) + a*h(x),

這裡把a和h(x)視為向量形式，a是橫向量，h(x)為列向量，之所以這麼寫，完全是因為csdn很難寫數學公式，只能將就了.....。

然後求取最優值，可以通過對l(a,x)對各個引數求導取零，聯立等式進行求取，這個在高等數學裡面有講，但是沒有講為什麼這麼做就可以，在後面，將簡要介紹其思想。

(b) kkt條件

對於含有不等式約束的優化問題，如何求取最優值呢？常用的方法是kkt條件，同樣地，把所有的不等式約束、等式約束和目標函式全部寫為乙個式子l(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x)，kkt條件是說最優值必須滿足以下條件：

1. l(a, b, x)對x求導為零；

2. h(x) =0;

3. a*g(x) = 0;

求取這三個等式之後就能得到候選最優值。其中第三個式子非常有趣，因為g(x)<=0，如果要滿足這個等式，必須a=0或者g(x)=0. 這是svm的很多重要性質的**，如支援向量的概念。

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