這篇隨筆講解圖論中lca問題（最近公共祖先）的幾種求解方式及實現方法。lca問題屬於高階圖論，所以希望讀者學習過初級圖論，知道圖的一些基本知識，並懂得深搜演算法的實現方式。這樣理解本篇部落格將會快捷、舒適。
理解lca問題，理解節點深度是至關重要的，大家可以畫一棵樹。在一棵樹中，所有的節點都有乙個深度。根節點的深度是1，其他節點的深度可以用深搜遍歷樹來處理出來。這樣，我們就可以通過深度陣列來實現解決lca問題的演算法。
樸素lca演算法的實現過程大約是這樣：對於詢問的兩個點\(x,y\)，先判斷兩個點誰更深一些，然後把更深的點順著它的父節點一步步往上提公升，直到和\(y\)點的深度相等為止。然後同時提公升\(x,y\)兩點，直到這兩個點變成同乙個點，這時的那個點就是我們要求的lca。
根據這個演算法實現的特點，我們叫他「爬一爬」演算法。這種演算法極容易理解，但是奇慢無比。所以我們就不給**了。
剛剛提到的lca樸素演算法比較好理解，但是奇慢無比。所以我們推出了更高階一點的方法：倍增lca。倍增思想其實是非常好用的一種優化思想，在演算法優化中有很多使用例項。比如rmq問題的暴力方法用倍增優化之後就變成了st表（st演算法），比如lca的爬一爬演算法用倍增優化之後就變成了倍增lca演算法。
所謂倍增lca，其實很好理解，就是原來的樸素演算法是乙個乙個爬，我們現在變成一次爬\(2^k\)個，這樣就會大大優化複雜度。
實現的步驟並沒有任何變化：都是先爬比較小的那個，後一起爬。但是這個時候我們就要處理乙個二維陣列f。\(f[x][k]\)表示\(x\)的第\(2^k\)輩的祖先是誰。這樣，我們就可以得出乙個遞推式：
\[f[x][k]=f[f[x][k-1]][k-1]
\]需要說明的是，這裡需要提前處理出f陣列和deep陣列，對於這種操作，我們可以在樹上進行深搜來實現。
模板如下：
void dfs(int x,int f)
\)輩的祖先的第\(2^\)輩的祖先。
（其實這是個動態規劃的過程）
剩下的就是一些細節問題。請大家多多注意，以後求lca問題的時候根據不同的題目要求，就改這個模板即可。
**：int lca(int x,int y)
else
ret=fa[x][i];
} return ret;
}
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