洛谷 P6772 美食家

noi 簽到題我都不會哦~

題意見洛谷。（以下用 \(k\) 表示 \(k\) 以避免與迭代變數衝突）

首先有個很顯然的 dp：\(dp_\) 表示第 \(i\) 天小 w 在城市 \(j\) 的情況下獲得的最大愉悅值之和。邊界：\(dp_=\beginc_1&i=1\\-\infty&i\neq1\end\)；目標：\(dp_\)；狀態轉移方程：

\[dp_=\max_\+c_j+ext(i,j)\}

\]其中 \(ext(i,j)\) 表示第 \(i\) 天城市 \(j\) 通過美食節額外獲得的愉悅值。

暴力 dp 肯定是不行的。這個 \(t\) 這麼大，一臉矩陣快速冪的樣子。

考慮用矩陣的形式將狀態轉移方程寫出來。我們重定義矩陣乘法，將 \(\times\) 改為 \(+\)，將 \(+\) 改為 \(\max\)，學過 ddp 的都知道這樣滿足原矩陣乘法的一切性質（我沒學過 ddp 都知道）。需要注意的是，這種乘法意義下的單位元是

\[i=\begin0&-\infty&-\infty &\cdots&-\infty\\-\infty&0&-\infty&\cdots&-\infty\\-\infty&-\infty&0&\cdots&-\infty\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&-\infty\\-\infty&-\infty&-\infty&-\infty&0\end

\]具體廣義乘法這套理論等到我學 ddp 再研究吧。於是：

\[\begindp_&dp_&\cdots&dp_&\cdots&dp_\end\delta_i=\begindp_&dp_&\cdots&dp_&\cdots&dp_\end

\]其中 \(\delta\) 是啥就不詳細說了，大概就是前 \(n\) 列是轉移方程裡的 \(c_j+ext(i,j)\)（如果轉移不到就是 \(-\infty\)），後 \(4n\) 列是一些 \(0\) 和 \(-\infty\) 表示移位。

注意到大多數時候 \(ext(i,j)=0\)，只存在 \(\mathrm o(k)\) 個 \(i\) 使得不等於零。而所有 \(ext\) 為零的時候的 \(\delta\) 是相等的，於是考慮按有美食節的時間分段，每段快速冪，有美食節的時間暴力修改矩陣單獨轉移。

這樣複雜度為 \(\mathrm o\!\left(kn^3\log t\right)\)，其中 \(n=5n\)。顯然過不去，瓶頸在於快速冪。

如何優化呢？注意到這裡是同底數冪，想到進製光速冪，即設乙個 \(x\) 進製，預處理出 \(\delta^0,\delta^,\cdots,\delta^\)，其中 \(y\in[0,\lceil\log_xt\rceil]\)，然後每次算冪的時候將指數 \(x\) 進製拆分乘即可。時間複雜度 \(\mathrm o\!\left(n^3x\log_xt+kn^3\log_xt\right)\)。本來就卡的很緊，似乎並沒啥卵用。

但是！這樣一來，算冪的時候每次乘法（共 \(\mathrm o(\log_xt)\) 次）可以利用矩陣乘法的結合律，將矩陣乘到向量上去，時間複雜度 \(\mathrm o(n^2)\)！然鵝直接使用快速冪的話，一次快速冪是乙個整體，無法在其過程中乘以向量；光速冪的優點是，它將乘的過程拆開了。

總時間複雜度 \(\mathrm o\!\left(n^3x\log_xt+kn^2\log_xt\right)\)。xjb 取個 \(x=2\) 即可得到 \(\mathrm o\!\left(n^3\log t+kn^2\log t\right)\) 的複雜度。由於矩陣乘法常數非常小，可以通過。

這裡「xjb 取個 \(x=2\)」，換句話說就是光速冪的優化的地方不在「光速」，而在用矩陣乘法的結合律降低單次乘法的複雜度，這大概是個矩陣乘法比較慣用的套路吧。

**：

#includeusing namespace std;
#define int long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define x first
#define y second
const int inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int n=50,t=200,log_t=32; 
int n,m,s,t;
int c[n+1];
vector> rnei[n+1];
pair> spc[t+2];
struct matrix
matrix()
friend matrix operator*(matrix x,matrix y)
friend vectoroperator*(vectorx,matrix y)
};matrix pw[log_t];
vectordp;
signed main()
for(int i=1;i<=t;i++)cin>>spc[i].x>>spc[i].y.x>>spc[i].y.y;
for(int i=0;i<5*n;i++)for(int j=0;j<5*n;j++)pw[0][i][j]=-inf;
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;js)
int e=spc[i].x-1-spc[i-1].x;
for(int j=0;jmatrix delta=pw[0];
for(int j=0;j<5*n;j++)delta[j][spc[i].y.x-1]+=spc[i].y.y;
dp=dp*delta;
}	if(dp[0]<0)puts("-1");
else cout
}

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