洛谷 P6775 製作菜品

第 100 篇部落格祭！（upd 2020.9.8：發現不是的，這是第 101 篇，之前寫的 cf 809d 題解忘了分類了）

話說這題為啥是個黑題啊，感覺我能獨立 ac 的題都不能算黑題（

然而在考場上還寫掛了，有調味料選了 \(0\mathrm g\)，而輸出格式規定 \(y>0\)（悲）。這啟示我們下次寫 spj 題的時候，如果自己寫 checker 判正確性，一定要把題麵裡所有的限制都判一下……

題意見洛谷。

首先，顯然有 \(\sum d_i=mk\)。以下設 \(mn=\min\,mx=\max\\)，則 \(mx\geq \dfrac mnk,mn\leq \dfrac mnk\)。

注意到奇奇怪怪的資料範圍，不妨先從 \(m=n\) 入手。此時顯然有 \(mx\geq k,mn\leq k\)。考慮配出一道菜，那麼可以優先將 \(mn\) 用掉，然後用 \(mx\) 解決剩下的 \(k-mn\)，由於 \(mn\geq1\)，所以一定有 \(mx>k-mn\)，\(mx\) 用不完。可以保證恰好用掉乙個原料。此時 \(n,m\) 都減一，轉化為了乙個規模小一級的 \(m=n\) 問題。邊界是 \(n=m=0\)。

然後考慮 \(m>n\)。顯然有 \(mx>k\)。直接用 \(mx\) 配出乙個菜，還用不完，只有 \(m\) 減一。就這樣一直減減減，直到 \(m=n\) 為止。

然後考慮 \(m=n-1\)。\(m=1,n=2\) 時直接配就可以了（這是邊界）。否則，考慮配出一道菜。那麼能否配出一道菜呢？這就要滿足 \(mx+mx'\geq k\)，其中 \(mx'\) 表示第二大的原料。肉眼只能得到 \(mx\geq \dfracnk\) 這樣乙個條件，彷彿不能保證一定能配出。但是經過不懈的嘗試，還是證出來了一定能。

證明：反證法。假設不能，則 \(mx+mx'，即 \(mx'。又 \(\sum d_i\leq (n-1)mx'+mx=u\)，顯然當 \(mx=\dfracnk\) 時，\(u\) 的上限最鬆為 \(u<(n-1)\left(k-\dfracnk\right)+\dfracnk=\dfracnk\)。所以 \(\sum d_i<\dfracnk\)。又 \(n>2\)，所以 \(\dfrac2n<1\)，所以 \(\dfracnk<(n-1)k=\sum d_i\)，矛盾。得證。

所以只需要優先用 \(mx'\)，再用 \(mx\)。但是就怕 \(mx'>k\)，用不完，那麼用掉之後就 \(m=n-2\) 了，哦吼，未知問題。那怎麼辦呢？注意到顯然有 \(mn，先把 \(mn\) 用掉即可。這樣可能會轉化到乙個規模小一級的 \(m=n-1\)，也有可能 \(m=n\)（可能會 \(mx+mx'=k\)）。

至此，\(m\geq n-1\) 就歸納做完了。\(m=n-2\) 貌似沒有啥思路？注意到可以將原料和菜分成兩部分，使得每部分內部的原料和菜質量相等，並且 \(m_1=n_1-1,m_2=n_2-1\)，這樣就可以做了。然後猜想，若不能分，則無解，並試圖證明。然後就證出來了（我考場上沒證，直接寫的）。

證明：考慮證明逆否命題：若有解，則能分。考慮將每個菜看作節點，將每個原料也看作節點，若乙個菜用了乙個原料，則它們之間有邊，構成一張二分圖。顯然，有 \(n+m\) 個點，最多有 \(2m\) 條邊。要想圖連通，必要條件是 \(2m\geq n+m-1\)，即 \(m\geq n-1\)。現在 \(m=n-2\) 則圖一定不連通。然後顯然一定存在連通分量的 \(m'=n'-1\)，因為全是 \(m'\geq n'\) 的話最終就 \(m\geq n\) 了。所以這個連通分量以及它的補圖是獨立的，各自有解。得證。

接下來就是怎麼分的事了。設分成兩個集合 \(s,t\)，則對 \(a=s\) 或 \(a=t\) 都有 \(\sum\limits_(d_i-k)=-k\)。這是乙個很簡單的 01 揹包，最終還原一下路徑即可。定義域是 \(\mathrm o(nk)\) 的，要更新 \(n\) 遍，複雜度 \(\mathrm o\!\left(n^2k\right)\)，吃不消。注意到 dp 陣列只記錄能否湊出的布林值，轉移時bitset移位 + 按位或即可。

總時間複雜度 \(\mathrm o\!\left(\dfracw\right)\)。

**（好像要加個 o3，然後過不過還要看評測只因心情。不過 ccf 只因應該更快吧，當時我查分的時候發現全是 pe 沒有 t 的）：

#pragma gcc optimize(3)
#includeusing namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define x first
#define y second
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int n=500,k=5000;
int n,m,k;
int d[n+1];
vector,pair> > ans;
void use(int x,int y=0)
else
}void m_lss_n()
if(mx2.x>k)use(mn.y,mx2.y);
else use(mx2.y,mx1.y);
}void m_eq_n()
void m_grt_n()
void deal()
memset(d,0,sizeof(d));
for(int i=0;i>testnum;
while(testnum--)mian();
return 0;
}

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