博弈論基本知識

博弈論基本知識

1、定義p-position和n-position：其中p代表previous，n代表next。直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是p-position，也就是「先手必敗」（奇異局勢），現在輪到move的人有必勝策略的局面是n-position，也就是「先手可保證必勝」（非奇異局勢）。

（1）無法進行任何移動的局面（也就是terminal position）是p-position；

（2）可以移動到p-position的局面是n-position；

（3）所有移動都導致n-position的局面是p-position。

2、p/n狀態有如下性質：

（1）若面臨末狀態者為獲勝則末狀態為勝態否則末狀態為必敗態。

（2）乙個局面是勝態的充要條件是該局面進行某種決策後會成為必敗態。 （3）乙個局面是必敗態的充要條件是該局面無論進行何種決策均會成為勝態

參考資料：

一、巴什博奕（bash game）

問題只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規定每次至少取乙個，最多取m個。最後取光者得勝。

題解若n=k*(m+1)，那麼先手必敗。

在n=k*(m+1)的情況下，先手無論拿多少，假設先手拿了x個吧，後手只要拿m+1-x個，讓整體還是保持為(m+1)的倍數，最後一定會來到m+1的情況，而m+1是先手必敗

例題hdu4764 stone

二、 威佐夫博弈（wythoff game）

問題有兩堆各若干的物品，兩人輪流從其中一堆取至少一件物品，至多不限，或從兩堆中同時取相同件物品，規定最後取完者勝利。

題解直接說結論了，若兩堆物品的初始值為（x，y），且x

三、 尼姆博弈（nim game）

問題尼姆博弈指的是這樣乙個博弈遊戲：有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最後一件物品的人獲勝。

題解把每堆物品數全部異或起來，如果得到的值為0，那麼先手必敗，否則先手必勝。

例題四、 斐波那契博弈

問題有一堆物品，兩人輪流取物品，先手最少取乙個，至多無上限，但不能把物品取完，之後每次取的物品數不能超過上一次取的物品數的二倍且至少為一件，取走最後一件物品的人獲勝。

題解結論是：先手勝當且僅當n不是斐波那契數（n為物品總數）

例題hdu2516

巴什博奕 威佐夫博弈 斐波那契博弈 nim 階梯博弈， sg，找規律 樹上博弈、

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