有一種很有意思的遊戲,就是有物體若干堆,可以是火柴棍或是圍棋子等等均可.兩個人輪流從堆中取物體若干,規定最後取光物體者取勝.這是我國民間很古老的乙個遊戲,別看這遊戲極其簡單,卻蘊含著深刻的數學原理.下面我們來分析一下要如何才能夠取勝. 按照遊戲規則(取物規則)的不同,博弈遊戲可以分為三類:
巴什博奕, 威佐夫博奕, 尼姆博奕(一
)巴什博奕
(bash game):
只有一堆
n個物品
,兩個人輪流從這堆物品中取物
,規定每次至少取乙個
,最多取m個
.最後取光者得勝
.顯然,如果n=m+1,那麼由於一次最多只能取m個,所以,無論先取者拿走多少個,後取者都能夠一次拿走剩餘的物品,後者取勝.因此我們發現了如何取勝的法則：如果n=(m+1)r+s,(r為任意自然數,s≤m),那麼先取者要拿走s個物品,如果後取者拿走k(≤m)個,那麼先取者再拿走m+1-k個,結果剩下(m+1)(r-1)個,以後保持這樣的取法,那麼先取者肯定獲勝.總之,要保持給對手留下(m+1)的倍數,就能最後獲勝.
這個遊戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數,每次至少報乙個,最多報十個,誰能報到100者勝. (
二)威佐夫博奕
(wythoff game):
有兩堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品,規定每次至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝.
這種情況下是頗為複雜的.我們用(ak,bk)(ak ≤bk ,k=0,1,2,...,n)表示兩堆物品的數量並稱其為局勢,
如果甲面對
(0,0),
那麼甲已經輸了
,這種局勢我們稱為
奇異局勢
.前幾個奇異局勢是：(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).
l 可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而bk= ak + k,奇異局勢有如下三條性質：
1、任何自然數都包含在乙個且僅有乙個奇異局勢中
.由於ak是未在前面出現過的最小自然數,所以有ak > ak-1 ,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性質1.成立. 2
、任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢
.事實上,若只改變奇異局勢(ak,bk)的某乙個分量,那麼另乙個分量不可能在其他奇異局勢中,所以必然是非奇異局勢.如果使(ak,bk)的兩個分量同時減少,則由於其差不變,且不可能是其他奇異局勢的差,因此也是非奇異局勢. 3
、採用適當的方法
,可以將非奇異局勢變為奇異局勢
.假設面對的局勢是(a,b),若b = a,則同時從兩堆中取走a 個物體,就變為了奇異局勢(0,0)；如果a = ak ,b > bk,那麼,取走b - bk個物體,即變為奇異局勢；如果a = ak , b < bk ,則同時從兩堆中拿走ak - ab - ak個物體,變為奇異局勢( ab - ak , ab - ak+ b - ak)；如果a > ak ,b= ak + k,則從第一堆中拿走多餘的數量a - ak 即可；如果a < ak ,b= ak + k,分兩種情況,第一種,a=aj (j < k),從第二堆裡面拿走b - bj 即可；第二種,a=bj (j < k),從第二堆裡面拿走b - aj 即可.
從如上性質可知,兩個人如果都採用正確操作,那麼面對非奇異局勢,先拿者必勝；反之,則後拿者取勝.
l 那麼任給乙個局勢(a,b),怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =[k(1+√5)/2], bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括號表示取整函式)
奇妙的是其中出現了**分割數(1+√5)/2 = 1.618...,因此,由ak,bk組成的矩形近似為**矩形,由於2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那麼a = a[j],b[j] = a[j] + j,若不等於,那麼a = a[j+1],b[j+1] = a[j+1]+ (j + 1),若都不是,那麼就不是奇異局勢.然後再按照上述法則進行,一定會遇到奇異局勢.
(三)尼姆博奕
(nimm game):
有三堆各若干個物品,兩個人輪流從某一堆取任意多的物品,規定每次至少取乙個,多者不限,最後取光者得勝.
這種情況最有意思,它與二進位制有密切關係,我們用(a,b,c)表示某種局勢,首先(0,0,0)顯然是奇異局勢,無論誰面對奇異局勢,都必然失敗.第二種奇異局勢是(0,n,n),只要與對手拿走一樣多的物品,最後都將導致(0,0,0).仔細分析一下,(1,2,3)也是奇異局勢,無論對手如何拿,接下來都可以變為(0,n,n)的情形.
計算機演算法裡面有一種叫做按位模2加
,也叫做異或的運算,我們用符號(+)表示這種運算.這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0.先看(1,2,3)的按位模2加的結果：
1 =二進位制01
2 =二進位制10
3 =二進位制11 (+)
0 =二進位制00 (注意不進製)
對於奇異局勢(0,n,n)也一樣,結果也是0.
任何奇異局勢(a,b,c)都有a(+)b(+)c =0.
如果我們面對的是乙個非奇異局勢(a,b,c),要如何變為奇異局勢呢？假設a < b< c,我們只要將c 變為a(+)b,即可,因為有如下的運算結果: a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0.要將c 變為a(+)b,只要從c中減去c-(a(+)b)即可.
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