資料結構與演算法11 最小生成樹

最小生成樹

問題提出：

要在n個城市間建立通訊聯絡網，城市間的通訊線路造價不同，希望找到一種方案使得建立該通訊網所需花費的總代價最小。

問題分析：

n個城市間，最多可設定n(n-1)/2條線路； n個城市間建立通訊網，至少需n-1條線路；

問題轉化為：如何在可能的線路中選擇n-1條，能把所有城市（頂點）連起來，且總耗費（各邊權值之和）最小。

定義：

生成樹中邊的權值（代價）之和最小的樹。

構造最小生成樹的準則：

例項：

普里姆(prim)演算法

普里姆方法的思想：

1）在圖中任取乙個頂點k作為開始點，令u=，w=v-u，其中v為圖中所有頂點集，

2）然後找乙個頂點在u中，另乙個頂點在w中的邊中最短的一條，找到後，將該邊作為最小生成樹的樹邊儲存起來，並將該邊頂點全部加入u集合中，並從w中刪去這些頂點，然後重新調整u中頂點到w中頂點的距離, 使之保持最小，

再重複此過程，直到w為空集止。求解過程參見下頁圖。

簡單地說，此過程是不斷地在w中找出與u裡邊相連的權值最小的邊。

演算法的基本思想

設定乙個輔助陣列t，對當前v－u集中的每個頂點，記錄和頂點集u中頂點相連線的代價最小的邊：

struct

t[max_vertex_num];

1，初始化輔助陣列，出發點加入u

2，對其餘頂點 　

2.1　求出下乙個加入樹的頂點k。 　

2.2　輸出加入樹的邊，將頂點k併入u 　

2.3　修改其它頂點的最小邊。

假設開始頂點就選為頂點1，故首先有u=，w=

解釋：第乙個頂點1，它連線到3的權值最小為1，所以加入生成樹中，並令t中1與3相連的邊權值為0，同時加入與頂點3相連邊的權值。不斷重複此操作，直到w完畢。

演算法實現：

void

minispantree_prim(mgraph g, vertextype u)
}t[k].lowcost = 0
;    
for(i=1; i/*
g.vexnum-1次迴圈，尋找當前最小權值的邊
*/        }
printf(
"(%c, %c), %d\n
", g.v[t[k].adjvex], g.v[k], t[k].lowcost);  /*
輸出生成樹的邊
*/t[k].lowcost = 0; /*
標記頂點k已加入生成樹
*/for(j=0;j/*
頂點k加入生成樹後重新選擇最小邊
*/        }}}

在普里姆演算法中，第乙個進行初始化的for迴圈語句的執行次數為n-1，第二個for迴圈中又包括了兩個for迴圈，執行次數為2(n-1)2  ，所以時間複雜度為o(n2)

克魯斯卡爾（kruskal）演算法

1． 克魯斯卡爾演算法基本思想

克魯斯卡爾演算法的基本思想是：

將圖中所有邊按權值遞增順序排列，依次選定取權值較小的邊，但要求後面選取的邊不能與前面選取的邊構成迴路，

若構成迴路，則放棄該條邊，再去選後面權值較大的邊，n個頂點的圖中，選夠n-1條邊即可。

例如，對上圖中無向網，用克魯斯卡爾演算法求最小生成樹的過程見下圖。

這一過程相當於選點加入樹中。

kruskal演算法的關鍵：如何判斷加入的邊是否形成迴路。可以採用將各頂點劃分為不同集合的方法來解決，每個集合中的頂點表示乙個無迴路的連通分量。

因此，設計乙個陣列int vset[maxv]，利用vset[i]來判定各頂點是否屬於同一集合中。其初始值為vset[i]=i（i=0,1,...,maxv-1），i為頂點所在集合的編號，表示各頂點在不同的集合上。

演算法實現：

#define maxe  //

最大邊數
# define maxv  
//最大頂點數
typedef 
struct
edge;  //
邊集型別資料結構
void kruskal(edge ge, int n, int
e)    k = 0;  /*
生成樹中邊的數目，初值為0
*/j = 0;  /*
邊集陣列ge的下標，初值為0
*/while(k<=n-1)  /*
生成樹中的邊數小於n條時繼續迴圈
*/        j++;  /*
掃瞄下一條邊*/}
}

演算法與資料結構 最小生成樹（最小支撐樹）

概念 設g v，e 是乙個無向連通圖，生成樹上各邊的權值之和為該生成樹的代價，在g的所有生成樹中，代價最小的生成樹就稱為最小支撐樹，或稱最小生成樹。區別 最小生成樹是各邊權值和最小的數 最優歸併樹是帶權外部路徑長度最短的樹 演算法 kruskal演算法 prim演算法 來自 1 include 2 ...

資料結構 最小生成樹

生成樹 乙個連通圖的最小連通子圖稱作該圖的生成樹。有n個結點的連通圖的生成樹有n個結點和n 1條邊。乙個有n個結點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，它包含原圖中的所有n個結點，並且有保持圖連通的最少的邊。由生成樹的定義可知 若在生成樹中刪除一條邊，就會使該生成樹因變成非連通圖而不再滿足生成樹的定...

資料結構（最小生成樹）

對於乙個無相連通網，他的所有生成樹中必有一棵邊的權值總和最小的生成樹，稱之為最小代價生成樹，簡稱最小生成樹。最小生成樹必須滿足三個條件 1 構造的最小生成樹必須包括n個頂點 2 構造的最小生成樹有且僅有n 1條邊 3 構造的最小生成樹中不存在迴路。普利姆演算法 prim 假設g v，e 為一無向連通...