cts2019 珍珠
有 \(n\) 個在 \([1,d]\) 內的整數，求使可以拿出 \(2m\) 個整數湊成 \(m\) 個相等的整數對的方案數。
資料範圍：\(0\le m\le 10^9\)，\(1\le n\le 10^9\)，\(1\le d\le 10^5\)。非常巧妙的題，主要要用到二項式反演、指數級生成函式和
ntt。
做個廣告，這是我讀過最好的生成函式講解：link。
設 \(c_i\) 表示 \(i\) 這個數的出現次數。
設 \(odd=\sum [c_i\in ]\)，即 \(c_i\) 奇數個數。
很明顯最多能湊成 \(\frac\) 對，按題意：
\[\begin
\frac&\ge m\\
odd&\le n-2m
\end
\]這裡有兩個特判，如果 \(n-2m<0\) 答案是 \(0\)，如果 \(n-2m\ge d\) 答案是 \(d^n\)。
設 \(g(i)\) 表示 \(odd=i\) 的方案數。
設 \(f(i)\) 表示欽定 \(i\) 個 \(c_i\) 是奇數，剩下隨意的方案數（不是 \(odd\ge i\) 的方案數，這裡對一些排列會重複統計，但是反演完就沒事了）。
\[f(i)=\sum_^dg(x)\longleftrightarrow g(i)=\sum_^d(-1)^ f(x)
\]所以可以先求 \(f(i)\)，用到了指數級生成函式，中間把每個 \(e\) 的冪次項展開，最後歸成卷積形式：
\[\begin
f(i)=& \left(\frac}\right)^i e^ n![n]\\
=& (e^x-e^)^i e^ \frac[n]\\
=& e^ \sum_^i(-1)^ e^ \frac[n]\\
=& e^ \sum_^i(-1)^ e^ \frac[n]\\
=& \frac\sum_^i(-1)^ e^ [n]\\
=& \frac\sum_^i(-1)^ \frac\\
=&\frac\sum_^i(-1)^ \frac (d-2j)^n\\
=&\frac\sum_^i\frac(d-2j)^n}\cdot \frac \\
\end
\]最後乙個難點是如何求：
\[g(i)=\sum_^d(-1)^ f(x)
\]感覺可以湊成卷積形式，但總差一點。嘗試把 \(f\) 和 \(g\) 都反過來，即令 \(f'(x)=f(d-x)\)，\(g'(x)=g(d-x)\)：
\[\begin
g(i)=&\sum_^d(-1)^ f(x)\\
=&\sum_^d(-1)^ f'(d-x)\\
=&\sum_^(-1)^ f'(x)\\
\end\\
g'(d-i)=\sum_^(-1)^ f'(x)\\
\begin
g'(i)=&\sum_^(-1)^ f'(x)\\
=&\sum_^(-1)^\frac f'(x)\\
=&\frac\sum_^ (-1)^\frac\cdot f'(x)(d-x)!\\
\end\\
\]然後就可以求 \(g(i)\) 了。
答案便是 \(\sum_^ g(i)\)。
#include using namespace std;
//start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define x first
#define y second
#define bg begin()
#define ed end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
#define r(i,a,b) for(int i=(a),i##e=(b);ii##e;i--)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
//data
const int n=1e5;
int n,m,d,ans;
//math
const int mod=998244353;
int pow(int a,int x)
const int mn=n+1;
int fac[mn],ifac[mn];
void math_init()
//poly
const int pn=mn<<2;
int f[pn],g[pn];
const int g=3,ig=pow(3,mod-2);
int rev[pn],pn;
void poly_init()
void ntt(int* a,int t){
r(i,0,pn)if(i>d>>n>>m;
if(n-2*m<0) return cout<<0<<'\n',0;
if(d<=n-2*m) return cout<祝大家學習愉快！
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題解 CTS2019珍珠 二項式反演 卷積
題目就是要滿足這樣乙個條件 c i 代表出現次數 sum 2 ge 2m 顯然 sum c i n 所以，而且假如 c i 是 2 的約數就有正常的貢獻，如果不是就有少一點的貢獻，那麼 sum d n 2m 設 f i 為欽定有 i 種顏色出現偶數次的方案。問題瞬間就變成了haoi染色.則有 f i...
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