動態規劃與分治方法類似，都是通過組合子問題的解來求解原問題．需要注意的是，動態規劃(dynamic programming)這裡的programming並不是指編寫電腦程式，而是指一種**法．
分治方法將問題劃分為互不相交的子問題，遞迴地求解子問題，再將它們的解組合起來，求出原問題的解．
動態規劃也是通過組合子問題的解來求解原問題，但是與分治方法不同的是，動態規劃應用於子問題重疊的情況．換句話說，就是不同的問題具有公共的子問題，這種情況下，分治方法會做許多不必要的工作，它會反覆地求解那些公共子問題．而動態規劃對每個子問題只求解一次，將其解儲存在**中，從而避免了不必要的工作．
acm時期最害怕的就是這類題，但是想到狀態轉移方程就不難，**量也短．
現在從原理上從零開始．
最長公共子串行簡稱lcs
注意子串行是不連續的．像下面這個例子，設x與y的最長公共子串行為lcs(x,y)．
\[\begin x:abcbdab \\y:bdcaba\end
\]通過肉眼觀察，我們可以發現子串行有如：ａ,ab,bcb等，其中最長的是bdab,bcab,bcba，長度為\(4\)
通過分析，如果用暴力列舉的方法，思路就是x有的子串行y也有．
總的來說就是列舉x的所有子串行，然後在y中check
來分析一下這個複雜度:
總複雜度是指數級別的，所以這個演算法是龜速的．
現在必須設計乙個更給力的演算法
做乙個簡化:
為了方便，定義\(|s|\)為字串\(s\)的長度
如果只是求長度，就不需要考慮所有的子串行，只用考慮他們的字首．
定義\(c[i,j]=|lcs(x[1..i],y[1...j])|\)，那麼\(c[m,n]\)就是最終答案
初始化\(c[0,0]=0\)
|lcs(x,y)|的狀態轉移方程是:
\[c[i,j]=\begin0&\text \\c[i-1,j-1]+1&\text \\
max(c[i,j-1],c[i-1,j])&\text
\end
\]我們來感性證明一下:
令\(z[1...k]=lcs(x[1...i],y[1...j])\)當\(c[i,j]=k\)的時候
同時若\(z[k]\)的取值也為\(x[i]\)，等於\(y[j]\)，那就是說\(z[1...k-1]=lcs(x[1...i-1],y[1...j-1])\)，而\(c[i-1,j-1]=k-1\)
反證法假設存在\(c[i-1,j-1]>k-1\)，因為\(x[i]=y[j]\)，所以\(c[i,j]=c[i-1,j-1]+1\)，意味著\(c[i,j]>k\)，與原命題矛盾，假設不成立．得證
其他情況也差不多．
比如假設\(z[k]=x[i]\neq y[j]\)，就是說\(z[1...k-1]=lcs(x[1...i-1],y[j])\)，而\(c[i-1,j]=k\)，之後證明也簡單
如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質（即滿足最優化原理）。最優子結構性質為動態規劃演算法解決問題提供了重要線索。
如果\(z=lcs(x,y)\)，那麼任何\(z\)的字首都是某個\(x\)的字首和某個\(y\)的字首的\(lcs\)
問題重疊性質是指在用遞迴演算法自頂向下對問題進行求解時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些子問題會被重複計算多次。動態規劃演算法正是利用了這種子問題的重疊性質，對每乙個子問題只計算一次，然後將其計算結果儲存在乙個**中，當再次需要計算已經計算過的子問題時，只是在**中簡單地檢視一下結果，從而獲得較高的效率。
對於\(lcs\)的**而言，複雜度最大的那一定是失配的時候，要計算兩個，實際上不需要重複計算，可以像填表一樣先記下來．
將各階段按照一定的次序排列好之後，對於某個給定的階段狀態，它以前各階段的狀態無法直接影響它未來的決策，而只能通過當前的這個狀態。換句話說，每個狀態都是過去歷史的乙個完整總結。這就是無後向性，又稱為無後效性。
求出長度的過程中記錄路徑，最後再通過回溯法就可以得出\(lcs\)
總時間複雜度是\(o(n*m)\)，空間複雜度是\(o(n*m)\)
但是求長度的空間複雜度可以降為\(o(min(n,m))\)
可以發現，每個元素的計算只與其左上，左邊，上邊這三個因素有關．
/**
* 最長公共子串行
* 優化了記憶體空間的使用
* 觀察到一件事: 每乙個元素的計算,只和其在左上, 左邊, 上邊的三個元素相關
* 可以考慮len(x) + 3
* 3個變數 定義為leftabove, left, above
*/#include#include#includeusing namespace std;
int lcs(string x, string y);
int main()
int lcs(string x, string y)
} cout但是如果空間複雜度為\(o(min(n,m))\)，那還能得出路徑嗎?
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