演算法導論動態規劃之「鋼管切割」問題

動態規劃，其實跟分治法有些相似，基本思想都是將複雜的問題分成數個簡單的子問題，然後再去解決。它們的區別在於，分治法關注的子問題不相互「重疊」，而動態規劃關注的子問題，多是相互「重疊」的。比如在快速排序中，我們將資料分成兩部分，這兩部分再分別快速排序的遞迴思想，也就是將整個問題的排序劃分為子問題子陣列的排序，但是這兩個子陣列的排序之間並沒有相互聯絡，a子陣列的排序不會因為b子陣列的排序而得到任何「好處」或者「壞處」。但是有些時候，劃分的子問題之間卻是有聯絡的，比如下面的「鋼管切割」問題：

某公司生產長鋼管，然後一般，會將鋼條切斷，變成不同長度，然後去售賣。其中有個問題是，不同長度的鋼管的售價是不一樣的，但是它們並不是完全按照比例來，比如2公尺的鋼管售價要比3公尺的鋼管售價要少，但是並不是2比3的比例。鋼管的長度售價表如下：

長度i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

**pi

30於是問題就來了，比如30公尺長的鋼管，要如何切割，切割成多長的幾條，才能讓售價最高，收益最高呢？

最簡單直接的想法，就是用暴力破解，n長的鋼管，可以分解成i長和n-i長的兩段，因為i可以從0~n取值，所以我們可以對i不進行繼續切割，於是對於長為i的這一段，可以直接呼叫價錢陣列p[i]來得到價錢，然後加上對n-i遞迴呼叫求最優收益的函式的返回值。在過程之中記錄這些組合的最優收益，等迴圈結束的時候，就能得到最優的收益價錢。

假設r[n]代表的是n長的鋼管的切割最佳收益值，陣列p代表上面表中的**，其中p[0]=0，從p[1]~p[10]對應上面表中的資料，那麼按照上面的想法，有公式：

r[n]=max(p[i]+r[n-i])，i從1到n，當n=0時，r[n]=0，因為0長的鋼管售價當然為0。

於是給以下實現**：

int cut_rod(int* p, int n) 
int q = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++) 
return q;
}

這種方法比較容易理解，但是效能是不是好呢？

可以簡單的以n=4的情況來看一下：

n=4的劃分(其中前面的那一段是直接使用p[i]，後面一段呼叫函式來求最佳收益)：

cut_rod(p,4)的劃分可能：

①1長和3長：p[1]+cut_rod(p,3)

②2長和2長：p[2]+cut_rod(p,2)

③3長和1長：p[3]+cut_rod(p,1)

④4長和0長：p[4]+cut_rod(p,0)

而其中cut_rod(p,3)又可以劃分為陣列p中元素與cut_rod(p,0)，cut_rod(p,1)和cut_rod(p,2)；以此類推，可以給出一種以遞迴呼叫樹的形式展示cut_rod遞迴呼叫了多少次：

不難從圖中看出，做了大量重複工作，以n=2的節點為例，分別在n=4和n=3的時候都被呼叫了。根據上圖，可以給出遞迴呼叫次數的乙個公式，假設t(n)表示cut_rod第二個引數為n時的呼叫次數，t(0)這時候是為1的，因為根結點的第一次呼叫也要算進去。於是有：

t(n)=1+t(0)+t(1)+...+t(n-1)

使用歸納法，可以比較容易的得出：t(n)=2^n。

指數次冪的呼叫次數，顯然太大，我們稍微讓n大一點，則會讓整個過程變的漫長。

而實際上我們不需要在每次都去重新計算cut_rod的在n=2時的結果，只需要在第一次計算的時候將結果儲存起來，然後再需要的時候直接使用即可。這其實就是所謂的動態規劃演算法。

這裡的思路有兩種，一種叫帶備忘的自頂向下方法，是順著之前的**，當需要的時候去檢查是不是已經計算好了，如果是，則直接使用，如果不是，則計算，並儲存結果。第二種思路是自底向上方法，不論需不需要，先將子問題一一解決，然後再來解決更一級的問題，但要注意的是，我們需要先從最小的子問題開始，依次增加規模，這樣每一次解決問題的時候，它的子問題都已經計算好了，直接使用即可。

帶備忘的自頂向下方法:

int memoized_cut_rod_aux(int* p, int n, int* r) 
int q = -1;
if (n == 0)  else 
}	r[n] = q;
return q;}/*
* 自頂向上的cut-rod的過程
*/int memoized_cut_rod(int* p, int n) 
return memoized_cut_rod_aux(p, n, r);
}

自底向上的方法：

/*
* 自底向上的方式，先計算更小的子問題，然後再算較大的子問題，由於較大的子問題依賴於更小的子問題的答案，所以在計算較
* 大的子問題的時候，就無需再去計算更小的子問題，因為那答案已經計算好，且儲存起來了
*/int bottom_up_cut_rod(int p, int n) 
r[j] = q;
}	return r[n];
}

上面兩種演算法的時間複雜度都是o(n^2)。

上面的**只給出了最優的收益值，但是卻沒有給出最優收益到底是在那種切割分配方式下得到的，比如說n=9時，最佳收益為25，要分成3和6兩段。這裡可以使用另乙個陣列s來儲存分段情況，比如s[9]儲存3，然後我們讓n=9-3，就可以得到s[6]的最佳分段情況，發現就是6，於是就不需要繼續。

只需要將**稍微修改即可達到目的：

#includeusing namespace std;
/* * 儲存結果的結構體，裡面包含r和s兩個陣列，分別儲存最佳收益和最佳收益時的分段數值
*/struct result 
~result() 
};result* extended_bottom_up_cut_rod(int p, int n) 
}		res->r[i] = q;
}	return res;
}int main() ;
int n = 9;
result* res = extended_bottom_up_cut_rod(p, n);
cout << "最佳收益：" << res->r[9] << endl;
//迴圈輸出實際的最佳分割段長
cout << "分段情況：";
while (n > 0) 
delete res;
return 0;
}

執行上面程式，我們就可以的得到長度為9的鋼管的最佳收益以及對應的切割情況：

最佳收益：25

分段情況：3 6

演算法導論動態規劃之「鋼管切割」問題

動態規劃鋼管切割問題

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