使用matlab求解線性 非線性方程

使用matlab求解線性方程

ax = b 形式   a ,b為矩陣

(1) a為非奇異矩陣時，既有唯一解時

共有三種方法求解：

example

clear all
a = [3 -9; 2 4];
b = [-42; 2];
% three methods
x = inv(a)*b       % good
x = a\b            % better
x = linsolve(a,b)  % best

syms a b c d e f 

m = [a b;c d];
rhs = [e;f];
z = inv(m)*rhs
>> z = inv(m)*rhs
z =(d*e)/(a*d - b*c) - (b*f)/(a*d - b*c)
(a*f)/(a*d - b*c) - (c*e)/(a*d - b*c)
>> z = m^-1*rhs
z =(d*e)/(a*d - b*c) - (b*f)/(a*d - b*c)
(a*f)/(a*d - b*c) - (c*e)/(a*d - b*c)
>> z = linsolve(m,rhs)
z =-(b*f - d*e)/(a*d - b*c)
(a*f - c*e)/(a*d - b*c)
>> m = [3 -9;2 4]
>> rhs = [-42;2];
>> z = inv(m)*rhs
z =   -5.0000
3.0000
>> z = m^-1*rhs
z =   -5.0000
3.0000
>> z = linsolve(m,rhs)
z =    -5
3

（2）a為奇異矩陣時，且a陣和[a,c]陣秩相同，則該方程有無數個解；

可以用 x = null(a); 先求出系統的齊次方程ax = 0的基礎解系，然後再用 x0 = pinv(a)*b 求出方程的乙個特解

然後得出系統的通解：x =a(1) * x(:,1) + a(2) * x(:,2) + ..... + a(n-m) * x(:,n-m) + x0;

a = [1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];

b = [1 3 2 6]';
c = [a,b];[rank(a) rank(b)];
syms a1 a2 ;
z = null(sym(a));
>> x0 = sym(pinv(a))*b;
>> x = a1*z(:,1)+a2*z(:,2)+x0 %求出方程的解析解
x =2*a1 + 3*a2 + 125/131
96/131 - (7*a2)/2 - (5*a1)/2
a1 - 10/131
a2 - 39/131
>> a*x-b
ans =  0
0 00

此外，可以採用rref(c),c = [a,b];進行基本行變換，得出方程的解析解；

>> c = [a,b];d =rref(c)

d =   1.000000000000000                   0  -2.000000000000000  -3.000000000000000   2.000000000000000
0   1.000000000000000   2.500000000000000   3.500000000000000  -0.500000000000000
0                   0                   0                   0                   0
0                   0                   0                   0                   0

(3)若a和[a,b]矩陣的秩不同，則原方程就沒有解，只能用x = pinv(a)*b求出方程的最小二乘解；

使用matlab求非線性方程

equations and systems solver - matlab solve (mathworks.com)

solve system of nonlinear equations - matlab fsolve (mathworks.com)

求解代數方程的符號解。

s = solve(eqn1,eqn2,...,eqnm,var1,var2,...,varn)

eqn 是符號表示式，可以是方程或不等式。vars是指定未知變數的符號變數表示。

fsolve 用來解決多個變數的非線性方程組。

x = fsolve(fun,x0,options)

syms x y

>> sol = solve([x^2+y^2-20,y - x^2,x>0,y>0],[x,y])
sol = 
包含以下欄位的 struct:
x: [1×1 sym]
y: [1×1 sym]
>> sol.x
ans = 2
>> sol.y
ans =
4

還可以使用matlab函式或者匿名函式來描述方程

function f=myfunction(z)

x = z(1);
y = z(2);
f(1)=x^2+y^2-20;
f(2)=y - x^2;
end

clear all

z_g = [1; 1];
z = fsolve(@myfunction, z_g);
disp(z)

匿名函式形式-----因為匿名函式標準形式為為針對自變數x,所以要都寫成x變數的形式

>> f= @(x)[x(1).^2+x(2).^2-20;x(2) - x(1).^2];

>> x0 =[1;1];x= fsolve(f,x0)
x =    2.0000
4.0000

還可以設定求解精度，options　

x = fsolve(fun,x0,options)

option =optimset;

option .tolx = 1e-20;  option .tolfun = 1e-20; 

x = fsolve(f,x0,option )

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