費馬小定理在公鑰加密中的應用及原理

sicp第35頁提到費馬小定理在密碼學中有很重要的應用, 還沒有學過《密碼學》這門課, 但我又對加密解密有點興趣, 決定一**竟. 費馬小定理維基百科裡是這麼定義的:

假如a是乙個整數，p是乙個素數，那麼

如果a不是p的倍數，這個定理也可以寫成

如果n是乙個素數, a是小於n的任意正整數, 那麼a的n次方與a模n同餘.

如果所有符合1 < b < p的b p都滿足下列條件的話：

, 則p必定是乙個素數. 實際上沒有必要檢測所有小於p的正整數, 而僅需測試所有的小於p的素數即可.

1. 找兩個很大的素數（質數）p 和 q, 越大越好, 比如 100 位長的, 然後計算它們的乘積 n=p×q, m=(p-1)×(q-1)

2. 找乙個和 m 互素的整數 e, 也就是說 m 和 e 除了 1 以外沒有公約數

3. 找乙個整數 d, 使得 e×d 除以 m 餘 1, 即 e×d mod m = 1

現在, 世界上先進的、最常用的密碼系統就設計好了, 其中 e 是公鑰誰都可以用來加密, d 是私鑰用於解密, 一定要自己儲存好. 乘積 n 是公開的, 即使敵人知道了也沒關係.

現在, 我們用式子 x^e mod n 對 x 加密得到密碼 y, 破解密文時用式子 y^d mod n 得到原文x.

原文x = y^d mod n = (x^e mod n)^d mod n, 根據同餘定理這個式子等價為: x^(e*d) mod n = x, 目的就是證明這個式子的正確性.

根據費馬小定理, 所以x^(e-1) = 1(mod e),

設整數k使得((p-1)(q-1))k+1=e*d, 所以x^(e*d)=x^((p-1)(q-1)k+1) = x*x^((p-1)^(q-1)) = x(mod  p),

同理x^(e*d) = x(mod  q), 即x^(e*d) – x能被p*q整除,

因為n=p*q, 所以x^(e*d) = x(mod n), 即得證.

費馬檢查用於檢查乙個數是否是素數, 根據這個基本原理, 用來找到乙個比現在已知素數還要大的素數, 這樣的素數在密碼學中有什麼用呢? 上面公鑰加密過程第一步已經提到需要兩個很大的素數構造n, 而一旦破解n是由哪兩個素數相乘, 整個公鑰加密系統也就沒有什麼秘密了, 但目前還沒有發現求乙個數的因子的很好演算法, 除非乙個個試, 但這需要很漫長的時間, 據說分解乙個200位的數就得花上上萬年...因此可見位數越多的素數乘積起來, 再進一步構造出來的密碼, 要破解它是相當困難的.

費馬小定理在公鑰加密中的應用及原理

sicp第35頁提到費馬小定理在密碼學中有很重要的應用,還沒有學過 密碼學 這門課,但我又對加密解密有點興趣,決定一 竟.費馬小定理維基百科裡是這麼定義的 假如a是乙個整數，p是乙個素數，那麼 如果a不是p的倍數，這個定理也可以寫成 但我發現sicp第34頁對費馬小定理的描述是這樣的 如果n是乙個素...

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