全排列的編碼與解碼 康托展開

、康托展開：全排列到乙個自然數的雙射

x=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai為整數，並且0<=ai適用範圍：沒有重複元素的全排列

二、全排列的編碼：

的排列總共有n!種，將它們從小到大排序，怎樣知道其中一種排列是有序序列中的第幾個？

如 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。想知道321是中第幾個大的數。

這樣考慮：第一位是3，小於3的數有1、2 。所以有2*2!個。再看小於第二位，小於2的數只有乙個就是1 ，所以有1*1!=1 所以小於32

的排列數有2*2!+1*1!=5個。所以321是第6個大的數。2*2!+1*1!是康托展開。（注意判斷排列是第幾個時要在康托展開的結果後+1）

再舉個例子：1324是排列數中第幾個大的數：第一位是1小於1的數沒有，是0個，0*3!，第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，所以只有乙個數2，1*2! 。第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，所以有0個數，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展開為98884，因為x=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解釋：排列的第一位是3，比3小的數有兩個，以這樣的數開始的排列有8!個，因此第一項為2*8!

排列的第二位是5，比5小的數有1、2、3、4，由於3已經出現，因此共有3個比5小的數，這樣的排列有7!個，因此第二項為3*7!

以此類推，直至0*0!

#includeconst int fac = ;///階乘  

int kt(int s, int n)  
return sum;  
}     
int main()  
;      printf("%d\n", 1 + kt(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884  
}

三、全排列的解碼

如何找出第16個（按字典序的）的全排列？

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0餘15

3. 用15去除3! 得到2餘3

4. 用3去除2! 得到1餘1

5. 用1去除1! 得到1餘0

有0個數比它小的數是1，所以第一位是1

有2個數比它小的數是3，但1已經在之前出現過了所以是4

有1個數比它小的數是2，但1已經在之前出現過了所以是3

有1個數比它小的數是2，但1,3,4都出現過了所以是5

最後乙個數只能是2

所以排列為1 4 3 5 2

#include#includeconst int fac = ;///階乘  

bool vis[10];  
///n為ans大小，k為全排列的編碼  
void invkt(int ans, int n, int k)  
ans[i] = j, vis[j] = true;  
k %= fac[n - i - 1];///餘數  
}  }     
int main()  

見：

全排列的編碼與解碼 康托展開

對於乙個集合 很明顯它有n 種全排列，把它們全都按照字典序排好序 從小到大 對應順序，假如問你第x個全排列是什麼，或者某個全排列在其中的序號是多少，可以利用康拓展開式來求。康托展開式 x a n n 1 a n 1 n 2 a i i 1 a 2 1 a 1 0 康托展開可以實現按字典序排序的序列與...

全排列的編碼與解碼 康托展開

康托展開是乙個全排列到乙個自然數的對映，可以快速求出乙個全排列在所有全排列中字典序排第幾 large x a n n 1 a n 2 a 1 0 其中 a i 表示全排列中後i個元素,第n i 1個元素排第幾 然後要減一 a i i 1 表示所有全排列中前n i個元素與當前全排列相同,且第n i 1...

康托展開 全排列

今天找到了一篇非常好的介紹康托展開的文章！其核心是這一張圖 letter 儲存所需字母表 void initletter 初始化字母表 int fact int n 階乘 return result void output vector v 輸出生成的結果 cout endl void divisi...