演算法之時間複雜度

前言： 學習這東西，很枯燥也很煩，參考許多博文，選了許多。結合一些東西，記錄一下， 也是為了以後回顧學習。

演算法效率： 

說到演算法效率 ， 不得不提兩個指標，那就是

時間複雜度 

空間複雜度

好的演算法應該具備時間效率高和儲存量低的特點。

計算機能快速完成大量複雜的資料處理，但是要完成這個工作，計算機也是需要一定的資源的。得根據資料大小和演算法來消使用處理器資源。要想程式能夠高效的執行，就要考慮到演算法的效率問題了。演算法效率的評估， 怎麼評估呢，那就是這兩個指標了。

時間複雜度：評估執行程式所需的時間。可以估算出程式對處理器的使用程度。

空間複雜度：評估執行程式所需的儲存空間。可以估算出程式對計算機記憶體的使用程度。

我們在設計演算法的時候。一般是先考慮系統環境，在考慮時間複雜度和空間複雜度， 中間取乙個合適的點，通常時間複雜度要比空間複雜度更容易產生問題，所以我們大多主要研究時間複雜度。

時間頻度

乙個演算法執行所消耗的時間，理論上是不能推論出來的，必須經過機器測試才知道。但是我們也不可能也沒有必要對每個演算法逐個進行上機測試，只需要知道演算法花費的時間就可以了。演算法花費的時間與演算法中語句的執行次數成正比例，哪個演算法中語句執行次數多，它花費時間就多。乙個演算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為t(n)。

時間複雜度

時間頻度t(n) 。  n 為問題的規模,當n不斷的變化時，時間頻度t(n) 也會隨之不斷的變化。有時候我們想知道它的變化呈現出什麼規律，所以 有了時間複雜度的概念。

演算法中  基本操作重複執行的次數，是問題規模 n 的某個函式 用 t(n) 表示。 如果有某個輔助函式 f (n)，  當n趨近於無窮大的時候，t(n) / f(n) 的極限值為不等於0 的常數。則 f (n) 為t(n) 的同數量級函式，表示為 t(n)=o(f(n))  它稱為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

大o表示法

上面用o( ) 來表示演算法時間複雜度的記法，稱之為大o 表示法。

評估乙個演算法我們可以從三個角度來評估： 分別為最理想情況，最壞情況，和平均情況。 從測試結果來看， 平均情況大多和最壞結果持平，而且評估最壞情況也可以避免後面出現的糟糕情況。所以一般情況下，我們設計演算法時都要直接估算最壞情況的複雜度。

大o表示法o(f(n)中的f(n)的值可以為1、n、logn、n²等，因此我們可以將o(1)、o(n)、o(logn)、o(n²)分別可以稱為常數階、線性階、對數階和平方階，那麼如何推導出f(n)的值呢？我們接著來看推導大o階的方法。 

推導大o階

推導大o階，我們可以按照如下的規則來進行推導，得到的結果就是大o表示法： 

1.用常數1來取代執行時間中所有加法常數。 

2.修改後的執行次數函式中，只保留最高端項 

3.如果最高端項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

常數階： 

int  m= 0 ;n = 100 //

執行一次
m = (1+n)*n/2 ; //
執行一次
system.out.prntln(m)//
執行一次

線性階：

線性階主要分析迴圈結構的運**況。

for(int i=0;i)

對數階 ：

int number=1;

while(number
number每次乘以2後，都會越來越接近n，當number不小於n時就會退出迴圈。假設迴圈的次數為x，則由2^x=n得出x=log₂n，因此得出這個演算法的時間複雜度為o(logn)。
平方階：
下面是迴圈巢狀
for(int i=0;i)

其他常見複雜度

除了常數階、線性階、平方階、對數階，還有如下時間複雜度： 

f(n)=nlogn時，時間複雜度為o(nlogn)，可以稱為nlogn階。 

f(n)=n³時，時間複雜度為o(n³)，可以稱為立方階。 

f(n)=2ⁿ時，時間複雜度為o(2ⁿ)，可以稱為指數階。 

f(n)=n!時，時間複雜度為o(n!)，可以稱為階乘階。 

f(n)=(√n時，時間複雜度為o(√n)，可以稱為平方根階。

演算法中常見的f(n)值根據幾種典型的數量級複雜度比較

o(n)、o(logn)、o(√n )、o(nlogn )隨著n的增加，複雜度提公升不大，因此這些複雜度屬於效率高的演算法，反觀o(2ⁿ)和o(n!)當n增加到50時，複雜度就突破十位數了，這種效率極差的複雜度最好不要出現在程式中，因此在動手程式設計時要評估所寫演算法的最壞情況的複雜度。

更直觀的圖：

t(n)值隨著n的值的變化而變化，其中可以看出o(n!)和o(2ⁿ)隨著n值的增大，它們的t(n)值上公升幅度非常大，而o(logn)、o(n)、o(nlogn)隨著n值的增大，t(n)值上公升幅度則很小。 

常用的時間複雜度按照耗費的時間從小到大依次是：

o(1)

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