如何判定在當前流量下，乙個費用流是否是最小費用流？
這個問題等同於，是否存在一種方案，在不改變總流量的情況下改變一些邊的流量，最終減小費用。網路流的消圈定理就對此作出了解答。
可行流 \(f\) 是當前流量下的最小費用流 \(\leftrightarrow\) 殘餘網路不存在負環
把單點看成乙個長度為 0 的環。
設 \(f'\) 是乙個流量不變，費用更小的可行流，那麼 \(f'-f\) 的每個點都滿足流入流量都等於流出流量。這是因為 \(f,f'\) 的除源點匯點的其他點都分別滿足這個條件，而總流量不變，所以源匯的流量也平衡。
這時 \(f'-f\) 是由一些環組成的。若不存在環，那麼不可能滿足流量平衡；若除了環還存在一些鏈，那麼鏈頭和鏈尾也就不滿足要求。
由於 \(w(f')，那麼 \(w(f'-f)<0\) ，所以這些環中一定存在乙個負環。
有了這個定理，我們就能判定當前流量下費用流是否是最小費用流了——若有負環就不是，否則是。
這也給我們提供了乙個得到最小費用流的方法，即不斷在負環上增廣，直到找不到負環 。
直接做的複雜度上界為 \(o(nm^2cw)\) ，其中 \(c,w\) 分別為最大容量和最大費用，整個過程可能執行 \(mcu\) 次，一次最壞找到負環為 \(o(nm)\) 。
poj2175 學會了這個方法就很簡單了。
用spfa來判斷負環，用佇列實現 600ms 左右，換成棧變成 300ms 左右。然而dfs tle 了。講道理，棧不就是dfs嗎？！
#include#include#include#include#includeusing namespace std;
inline char nchar()
inline int read()
const int maxn=205;
const int maxe=maxn*maxn*2;
int n,m,bt[maxn],ct[maxn];
struct d
} b[maxn],c[maxn];
namespace graph e[maxe];
int h[maxn],tot=1,pre[maxn],d[maxn],cnt[maxn],que[maxe],ql,qr; // pre e
bool inq[maxn],vis[maxn];
inline int add(int x,int y,int c,int w) ;
return h[x]=tot;
} void print(int x)
puts("suboptimal");
for (int i=1;i<=n;++i)
} inline int find(int x)
inline void cancle(int s,int t)
}inq[x]=false;
} }}using graph::add;
int main()
for (int i=1;i<=m;++i)
for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=1;j<=m;++j)
graph::cancle(s,t);
puts("optimal");
return 0;
}
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囧，今天第一天電腦競賽補課，就把最大流的bfs增廣 先流預推法 最大流最小割定理 最小費用流講完了。汗。而我，就只記住了bfs增廣和最大流最小割定理。最小費用流ms差不多明白了。所以先講講bfs增廣求最大流的演算法吧。簡單的來說，就是從s 源 開始bfs，直到到達t 匯 or不存在增廣路。所謂增廣路...
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