不等式性質使用中的易錯題

2022-01-24 14:15:06 字數 4225 閱讀 2689

求二元函式的和差的取值範圍或者積商的取值範圍。

已知\(-1,\(2,則\(x-y\)的取值範圍是\((-4,2)\);\(3x+2y\)的取值範圍是\((1,18)\);

已知實數\(a\in (1,3)\),\(b\in (\cfrac,\cfrac)\),則\(\cfrac\)的取值範圍是\((4,24)\)

分析:\(4

已知二元函式的和差的範圍,求其和差的範圍;

已知函式\(f(x)=ax^2+bx,1\leq f(-1)\leq 2,2\leq f(1)\leq 4\), 求\(f(-2)\)的取值範圍。

【法1:錯解】由\(\begin1\leq f(-1)\leq 2\\2\leq f(1)\leq 4\end\)得到\(\begin1\leq a-b \leq 2&①\\2\leq a+b \leq 4&②\end\),

利用不等式的性質,將①②式相加減,得到\(\cfrac\leq a \leq 3,0\leq b \leq \cfrac\),

所以\(6 \leq 4a \leq 12,-3\leq -2b \leq 0\),所以\(3 \leq 4a-2b \leq 12\),

故$ 3 \leq f(-2)=4a-2b \leq 12$

錯因分析:由於\(\left\\\\end\right.\)是\(a+c>b+d\)的充分不必要條件,故逆向推理不成立;

【錯因分析】以上的解法打破了\(a,b\)取值的內在聯絡,它們的範圍會發生變化,如由\(\cfrac\leq a \leq 3\),\(0\leq b \leq \cfrac\),當我們取\(a=\cfrac\),\(b=\cfrac\)時,很明顯\(a-b=0,a-b\notin [1,2]\),故只要解法中沒有把\(a-b\),\(a+b\)當成乙個整體對待的都是有問題的解法。

【法2】待定係數法,令\(f(-2)=mf(-1)+nf(1)\),

則由\(f(-2)=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b\),

又由已知可知\(f(-2)=4a-2b\)

所以由對應係數相等得到方程\(\begin m+n=4 \\ m-n=2 \end\)

解得\(m=3,n=1\)

又由於\(1\leq f(-1)\leq 2\),$ 2\leq f(1)\leq 4$,

所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\),\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\),

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\),

即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)。

【法3】:方程組法

由已知有\(\begin f(-1)=a-b \\ f(\,\,\,\,1)=a+b \end\),

解得\(\begin a=\cfrac\cdot [f(-1)+f(1)] \\ b=\cfrac\cdot [f(1)- f(-1)] \end\)

所以\(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)\),

又由於\(1\leq f(-1)\leq 2\),\(2\leq f(1)\leq 4\),

所以\(3\leq 3\cdot f(-1)\leq 6\),\(2\leq 1\cdot f(1)\leq 4\),

故\(5\leq 3\cdot f(-1)+1\cdot f(1)\leq 10\),

即\(5\leq f(-2)=4a-2b \leq 10\)

【法4】:線性規劃法

用線性規劃分析錯誤原因:

解法1中得到單個的\(a、b\)的取值範圍是\(\cfrac\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac\),

由此作圖得到的是矩形\(efgh\),由條件\(1\leq f(-1)\leq 2\),\(2\leq f(1)\leq 4\)得到的是矩形\(abcd\),

很顯然兩個矩形不一樣,那麼那個圖形是對的?

我們可以看到在\(\delta adh\)內部的點,由線性規劃知識可知並不滿足條件\(1\leq a-b\leq 2\),\(2\leq a+b\leq 4\),

因此得到單個的\(a、b\)的取值範圍是\(\cfrac\leq a \leq 3\)和\(0\leq b \leq \cfrac\)是錯的,顯然擴大了單個\(a、b\)的取值範圍。

正解分析:由線性規劃可知,

當直線\(l_0:4x-2y=0\)經過點\(a(\cfrac,\cfrac)\)時,

\(z=4x-2y\)有最小值,且\(z_=4\times\cfrac-2\times\cfrac=5\);

當直線\(l_0:4x-2y=0\)經過點\(c(3,1)\)時,

\(z=4x-2y\)有最大值,且\(z_=4\times3-2\times1=10\);

已知二元函式的積商的範圍,求其積商的範圍;

已知\(x,y\)為正實數,滿足\(1\leq lgxy \leq 2\),\(3\leq lg\cfrac \leq 4,\) 求\(lg(x^4y^2)\)的取值範圍。

【法1】:模擬上例中的法3

\(\because 1\leq lgxy \leq 2,\therefore 10\leq xy \leq 10^2,\)

又\(\because 3\leq lg\cfrac \leq 4,\therefore 10^3\leq \cfrac \leq 10^4,\)

\(10^3\leq (xy)^3 \leq 10^6,10^3\leq \cfrac \leq 10^4,\)

\(10^6\leq x^3\cdot y^3 \cdot \cfrac =x^4\cdot y^2 \leq 10^,\)

\(6\leq lg(x^4y^2) \leq 10\) ;

【法2】:模擬上例中的法2

\(1\leq lgxy \leq 2\),\(3\leq lg\cfrac \leq 4,\)

\(1\leq lgx+lgy \leq 2\),\(3\leq lgx-lgy \leq 4,\)

仿照上例中的解法2,求得恰當的係數,可得

\(3\leq 3lgx+3lgy \leq 6\),\(3\leq lgx-lgy \leq 4,\)

所以同向不等式相加得到

\(6\leq 3lgx+3lgy+lgx-lgy \leq 10\)

即\(6\leq 4lgx+2lgy=lg(x^4y^2) \leq 10\)

\(6\leq lg(x^4y^2) \leq 10\)

【解後反思】之所以將這兩個例題放在一起,是因為例1中涉及到兩個變數的加減運算,而例2中涉及兩個變數的乘除運算。

已知\(-\cfrac

分析:①已知條件等價轉化為不等式組\(\left\

這樣得到\(-\pi

②仿上,先轉化得到\(-\pi

兩個同向不等式相加,得到\(-\cfrac<2\alpha-\beta

方程\(x^2+(m-1)x+m^2-2=0\)的兩個根都大於1,求\(m\)的取值範圍;

法1:[錯解]由題知\(\begin \delta \ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ x_1\cdot x_2>1 \end\),錯在不等式性質的應用上,

同向不等式的可加性:\(\begina>b\\c>d\end\)是\(a+c>b+d\)的充分不必要條件,

也就是說由\(\beginx_1+x_2>2\\x_1\cdot x_2>1\end\)並不能推出本題想要的結果\(\beginx_1>1\\x_2>1\end\),

故這樣的解集必然是錯誤的。

不過我們注意到\(\begina+b>0\\ab>0\end\)等價於\(\begina>0\\b>0\end\),

那麼把上面的解法稍微做個改進就得到法2:

法2: 分析,變形使用不等式的性質,得到\(\begin \delta \ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ (x_1-1)\cdot (x_2-1)>0 \end\)

法3: 分析,有對應的函式影象轉化得到不等式組,\(\begin \delta \ge 0 \\ -\cfrac>1 \\ f(1)>0 \end\)

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