取石子遊戲
time limit:1000ms
memory limit:10000k
total submissions:37662
accepted:12594
description
有兩堆石子，數量任意，可以不同。遊戲開始由兩個人輪流取石子。遊戲規定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在兩堆中同時取走相同數量的石子。最後把石子全部取完者為勝者。現在給出初始的兩堆石子的數目，如果輪到你先取，假設雙方都採取最好的策略，問最後你是勝者還是敗者。
input
輸入包含若干行，表示若干種石子的初始情況，其中每一行包含兩個非負整數a和b，表示兩堆石子的數目，a和b都不大於1,000,000,000。
output
輸出對應也有若干行，每行包含乙個數字1或0，如果最後你是勝者，則為1，反之，則為0。
2015-08-19：
這道題比較有趣，**量不多，但是裡面的數學知識蘊含比較豐富。
這題就是著名的威佐夫博弈
如題所言，我們要做的就是要確定誰是最後的贏家，那麼這題呢，取石子的方法有很多（千萬不要被採取最好的策略給騙了，不是一定要取完的意思），我們總不可能乙個乙個地列舉把，那樣太累了，也不可取，那怎麼辦呢？其實，在雙人博弈中，只要是把棋子下完就算獲勝的那種，且滿足一定規則，那麼一定存在有一方一定勝的情況，這個其實是圖論的知識，我們等一下再講，不急。
我們現在先觀察一下，既然有一定是贏的情況，那麼根據題意，我們最容易想到的就是(0,k),(k,0),(k,k)這三種情況，如果存在這三種情況，我們一定贏，那如果我們一定輸的情況長什麼樣子的呢？我們想想，（1,2），（2,1）,（3,5），（5,3）....這類的情況我們一定是輸的，不信你可以試試看，我們就拿(1,2)來看，無論你把哪一邊的石頭取完，或者取乙個之類的，你都是輸。
這樣看，貌似這題真的難透了，因為不僅存在一定贏的情況，而且也存在一定輸的情況，還存在不一定贏也不一定輸的情況，那完蛋了，這題是不是沒法做了呢？別急，我們這樣想：
如果你在必勝態上，不用想，你贏了。這種情況的前提是對手在必敗態上
如果你要保證你自己贏，首先你自己就不能在必敗態，而且最好你下完以後對手一定在必敗態上，這種思路可以，
如果你不在必勝態上，你可以把自己轉移到必勝態上，或者把對手逼到必敗態上
這樣一想那麼這題就好做了，我們只用找必敗態就好了，關鍵是怎麼找呢？
帶著這個疑問，我們來講一下非常重要的模型：
博弈的圖論模型---必敗態與核
1
th1：勝態一定可以通過某種策略走向必敗態；而必敗態採取任何策略都將走向勝態。圖論語言：th2：
因為必敗態只能走向勝態，所以任何兩個必敗態結點之間不可能存在邊；
th3：
因為勝態總能走到必敗態，所以對任何乙個非必敗態的結點，
一定存在乙個從它指向必敗態結點的邊。
定義1：有向圖中，集合x中任意兩點之間無邊，稱集合x為內固集。
定義2：有向圖中，任意不在集合x中的點存在一條指向集合x的邊，稱集合x為外固集。
定義3：有向圖中，集合x 既是外固集，又是內固集，稱集合x為核。
th4：雙人博弈中，約定走最後一步為勝，如果有核存在，則其中一方有不敗策略。 th5：有限個結點的無迴路有向圖有唯一的核。定理1定理2和定理3我們不證（這個根據圖來理解比較好一點），
對於定理4，因為博弈肯定對應的是有向圖，我們可以假設a先走，a總是做到會把b逼入核中的情況，然後b可以退出核外（假設還是存在往外指的邊），總是存在a最後會把b逼到走投無路的情況（當然你可能會問如果b退出來以後a走投無路怎麼辦，那不可能，因為如果是這樣，a早就在核中了，違反了核的定義）。同理b也是一樣分析
對於定理5：因為圖無迴路，所以一定是有終點的，終點的集合即是核。
好了知道了圖論的這個知識以後，回到題目來，那麼這道題，必敗態就是核的集合了，那怎麼找到核呢？我們可以遞推的思想，找一下規律
我們知道（0,0）是乙個特殊的必敗點，那麼根據非必敗點能走到必敗點的結論，我們根據題目的條件，我們可以用3條線去掉非必敗點，橫線，豎線，和斜線，那麼我們就去掉了（0,k）,(k,0),(k,k)（k>1）的點，
接下來我們找第乙個沒有劃的點，他一定是乙個必敗點，因為這個點不可能和（0,0）有交集，符合核的定義，我們找到了（2,1）和（1,2），我們也按照上面的處理方法，劃線。
接下來就是（3,5）,（5,3）這兩個必敗點，同理，然後就是（4,7）（7,4）………………………………一直往後推
現在我們把這些點全部集中起來看，好了發現規律沒？規律就是a(k)=b(k)+k，這個東西咱們寫**應該要熟悉，這個式子的a(k)和b(k)的比率，就是**分割率0.618（當然k要很大才是趨近這個數）
是不是有點奇怪？你可能會說，不行啊這只是我們畫圖推出來的規律，怎麼可以拿來做結論呢？好吧，下面我們來稍微證明下：
證明均在核中：
反證法：
假設存在乙個不在核中，那麼這個點呢一定會與某乙個核存在邊，那麼邊怎麼來？要麼就是橫著過來，豎著過來，或者斜著過來（即存在另乙個節點(c(n),d(n))，使得其座標等於c(n)=a(k)-m或者d(n)=b(k)-m或者c(n)=a(k)-m，d(n)=b(k)-m），這樣想肯定不對，因為在考慮(c(n),d(n))之前，我們已經把這些邊和邊上的節點全部排除了，
所以，均在核中。證畢
另外，這個結論可以引出第二個非常著名的定理：beatty定理
2我們這裡只講結論，就是威佐夫博弈的必敗點座標滿足beatty定理，
並且如果a(n)=[αn]，b(n)=[βn]，則α=(sqrt(5)-1)/2;
#include #include1.patrick的部落格--取石子遊戲int main(void
)}
（我的那個證明方法是反證，他那個是數學歸納法，更嚴謹一點）
2.jack ge的部落格--取石子遊戲
3.證明
必敗態的過程
4.如何證明高斯取整函式和beatty公式
5.如何證明高斯取整函式和beatty公式
POJ 取石子遊戲
取石子遊戲 time limit 1000ms memory limit 10000k total submissions 35918 accepted 12140 description 有兩堆石子，數量任意，可以不同。遊戲開始由兩個人輪流取石子。遊戲規定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一...
POJ 1067 取石子遊戲
取石子遊戲 time limit 1000ms memory limit 10000k total submissions 25862 accepted 8199 description 有兩堆石子，數量任意，可以不同。遊戲開始由兩個人輪流取石子。遊戲規定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一堆...
POJ 1067 取石子遊戲
威佐夫博奕。思路 我們用 ak，bk ak bk k 0，1，2，n 表示兩堆物品的數量並稱其為局勢，如果甲面對 0，0 那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是 0，0 1，2 3，5 4，7 6，10 8，13 9，15 11，18 12，20 可以看出,a0 b0 0,ak是...