卡特蘭數經典 \(\texttt\) 分拆問題。分析：
題意相當於排列 \(n\) 個 \(\texttt a\) 和 \(n\) 個 \(\texttt b\)，使得相鄰 \(\texttt\)（有序！）消掉，然後左右元素並到一起再消，最後消完的序列個數。
設 \(\texttt\) 為乙個組「1」，\(\texttt\) 自巢狀一次為乙個組「2」（即 \(\texttt\)），以此類推。
後面大多數數字指組「數字」
題意即轉換為乙個數 \(n\)，求 \(n\) 分解成若干個正整數之和的方案數。
神犇到這一步就可以切掉了吧。
我們這裡考慮隔板法：
兩個 \(1\) 當然可以合併 \(2\)（\(=1+1\)），\(a\) 和 \(b\) 當然可以合併 \(a+b\)，問題轉換為有 \(n\) 個 \(1\) 有多少種合併方案。
設 \(n\) 個數的方案數為 \(f(n)\)。
考慮將 \(f(n)\) 分解為 \(f(x_0+y_0)\)。
使用隔板：
於是得出遞推式：
\[f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+\dots+f(i)f(n-i-1)+\dots+f(n-1)f(0)
\]樸素 dp 即可：
#includeusing namespace std;
const int n=25;
typedef long long ll;
ll n,dp[n];
int main()
{ cin>>n;
dp[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
cout《但是在深入一步，會發現 \(f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+\dots+f(i)f(n-i-1)+\dots+f(n-1)f(0)\) 的這個 \(f(n)\) 正好就是卡特蘭數 \(c_n\)，這個公式正好是乙個卡特蘭數的遞推式。
洛谷 P1754 球迷購票問題
盛況空前的足球賽即將舉行。球賽門票售票處排起了球迷購票長龍。按售票處規定，每位購票者限購一張門票，且每張票售價為50元。在排成長龍的球迷中有n個人手持面值50元的錢幣，另有n個人手持面值100元的錢幣。假設售票處在開始售票時沒有零錢。試問這2n個球迷有多少種排隊方式可使售票處不致出現找不出錢的尷尬局...
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這是一道動態規劃題，其實也是個數論題。有n人拿50，有n人拿100買票，必須讓50元的人買，不然無法找零錢，問最多有幾種方案可以每一次都買票成功。這個題首先令人想到搜尋，但是隨即發現dp是正解，於是dp i j 代表當50為i，100為j人時 最大的方案數，於是去推導方程，得到dp i j dp i...