虛樹學習筆記

虛樹常常被使用在樹形 \(dp\)中。

有些時候，我們需要計算的節點僅僅是一棵樹中的某幾個節點

這個時候如果對整棵樹都進行一次計算開銷太大了

所以我們需要把這些節點從原樹中抽象出來

按照它們在原樹中的關係重新建一棵樹，這樣的樹就是虛樹

在構建之前，我們需要把所有需要加入的節點按照 \(dfn\) 序從小到大排好序

在加點時，我們要用棧維護乙個最右鏈

在這個鏈左邊的虛樹都已經構建完成

我們設 \(top\) 為棧頂，設要加入的節點為 \(now\)，設棧頂元素與 \(now\) 的 \(lca\) 為 \(lc\)

在加入的時候，會有以下幾種情況

此時我們直接把 \(now\) 接在最右鏈之後即可

\(2\)、\(lc\) 位於 \(sta[top]\) 和 \(sta[top-1]\)之間

此時 \(sta[tp]\) 已經不在最右鏈上，將其在虛樹上和 \(lc\) 連邊後出棧

同時把 \(lc\) 和 \(now\) 依次入棧

\(3\)、\(lc\) 為 \(sta[top-1]\)

和上面幾乎一樣，只是不把 \(lc\) 入棧

\(4\)、\(lc\) 的深度比 \(sta[top-1]\) 還小

我們把 \(sta[top]\) 和 \(sta[top-1]\) 連邊後出棧，重複之前的操作

這樣，我們直接在建出來的虛樹上 \(dp\) 就可以了

設總點數為 \(k\),則時間複雜度為 \(o(klogk)\)

以p2495 [sdoi2011]消耗戰為例

#include#include#include#include#define rg register

inline int read()
while(ch>='0' && ch<='9')
return x*fh;
}const int maxn=1e6+5;
int h[maxn],tot=1,h2[maxn],t2=1;
struct asdb[maxn],b2[maxn];
void ad(rg int aa,rg int bb,rg int cc)
void ad2(rg int aa,rg int bb)
int n,m,fa[maxn],dep[maxn],son[maxn],siz[maxn];
long long mindis[maxn];
void dfs1(rg int now,rg int lat)
}int dfn[maxn],dfnc,tp[maxn],stk[maxn],cnt,sta[maxn],js;
void dfs2(rg int now,rg int top)
}bool cmp(rg int aa,rg int bb) else 
}break;
} else 
}	sta[++js]=now;
}bool vis[maxn];
long long dfs(rg int now,rg int lat)
if(vis[now]) else 
vis[now]=0;
h2[now]=-1;
return cs;
}int main()
printf("%lld\n",dfs(1,0));
}	return 0;
}

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