進出棧序列問題詳解

題目描述

一列火車n節車廂，依次編號為1,2,3,…,n。每節車廂有兩種運動方式，進棧與出棧，問n節車廂出棧的可能排列方式有多少種。

輸入描述:

乙個數，n(n≤60000)n (n \leq 60000)n(n≤60000)

輸出描述:

乙個數s表示n節車廂出棧的可能排列方式

示例1

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示例2

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1978261657756160653623774456

思路：

方案一：暴力列舉

對於棧問題，簡單來想只有進棧和出棧的操作

所以直觀的來看，直接暴力列舉每個節點情況

$\begin1.把下乙個數進棧\\2.把當前棧頂元素出棧（如果棧非空）\end$

利用遞迴快速實現，時間複雜度：$o(2^n)$

在這個時間複雜度下很容易tle

方案二：遞推優化 $o(n^2)$

因為本題只是要求求出有多少種出棧序列並不關心具體方案，於是我們可以使用遞推直接進行統計。設$s_n$ 表示進棧順序為 $1，2，3，4...,n$ 時可能的出棧序列總數。

現在假設序列中位置 $k$ 的地方有乙個數 $a ，a$前面有$k−1$個數要出棧，a後面有$n−k$個數要出棧，而出棧的方案總數分別是 $s_ $ 和 $s_$ 於是這個大問題就轉化成了小問題，我們就要求更小的 $s_i$，於是有遞推公式（很好理解）：

方案三：動態規劃$o(n^2)$

動態規劃。這裡我們要有狀態與決策的思想（這個真的很重要，有時與搜尋也異曲同工）。我們設 $f[i,j]$ 是還有 $i $個元素未入棧，$j$ 個元素在棧中的方案總數，初始狀態是$f[0,0]=1$，目標狀態是$f[n,0]f$，每一次我們的決策有「讓乙個數進棧」，「讓棧頂的數出棧」，所以方程有：

\[f[i,j]=f[i−1,j+1]+f[i,j−1]

\]方案四：數學$o(n)$、

該問題等價於求第 $n$ 項 $ctalan$數，即 $c^_ / (n + 1)$