之前我們學了一大堆矩陣是什麼，現在我們要把矩陣當作乙個運算物件來看待了。
因而我們依舊先從最基礎的加法開始。
如果兩個矩陣的行數和列數都一樣，那麼它們之間可以相加，結果就是對應的元素相加的矩陣，行數和列數保持不變，例如：
顯然當加上的是零矩陣時，矩陣不變。
同時我們也可以證明矩陣加法滿**換律和結合律。
我們這樣定義加法的乙個重要原因是，這種加法在矩陣左乘向量中滿足分配律：
練習：證明這個結論。
接下來我們討論數乘。
對於乙個矩陣，乘乙個數c，也就是把每個元素都乘c，例如：
我們可以證明矩陣的數乘滿足結合律和分配律，對於矩陣左乘向量同樣有：
練習：證明這個結論。
就像向量的加法和數乘之後，我們要討論內積外積一樣，接下來我們要討論矩陣和矩陣之間的乘法。
之前我們知道，矩陣a左乘乙個向量x，等價於由列向量組成的向量，和x進行內積運算，記作ax。
n行m列的矩陣和m維向量相乘，結果是n維向量，例如：
那麼我們把運算結果再左乘乙個l行n列的矩陣b，得到b(ax)，結果會是乙個l維向量，例如：
那麼我們有沒有乙個矩陣c，能夠一步到位，替代a和b兩個矩陣呢？
答案是有，這就被定義為矩陣的乘法cx=(ba)x=b(ax)，其中c=ba是矩陣的乘積。
根據前面的運算結果，我們知道l行n列的矩陣b，右乘n行m列的矩陣a，最後結果應該是乙個l行m列的矩陣，這樣才能把m維的x變成乙個l維向量：
接著我們來推導乘積的具體結果。
我們把矩陣a切成列向量，得到：
接著計算出結果為：
再和矩陣b相乘，由於矩陣乘向量，是乙個線性對映，所以得到：
再提取出x，得到：
所以：即乘積c的第i個列向量，就是矩陣b乘以矩陣a的第i個列向量。
另一方面，我們也可以把c的第i個行向量，看作是矩陣a乘以矩陣b的第i個行向量。
具體到單個元素上，可以計算得c的第i行第j列元素，就是b的第i個行向量，和a的第j個列向量內積：
例如：之前的n行m列矩陣和m維向量相乘，也可以看作是n行m列矩陣，和m行1列矩陣相乘。
在這裡就體現出了行向量和列向量的不同，例如：
這個例子也說明，矩陣乘法不滿**換律。
可以驗證，矩陣乘法滿足結合律，以及左右分配律：
而主對角線全是1的對角陣為什麼叫做單位矩陣也很明顯了：
練習：證明這個結論。
要特別注意，矩陣乘法不滿**換律。
同時，消去律也不對矩陣成立，即ab=ac時，就算a不是零矩陣，b也不一定等於c：
在之後我們會討論，什麼樣的矩陣才可以滿足消去律。
另外也不能通過乘積為0做判斷，ab為零矩陣時，a和b有可能同時不為零：
根據矩陣乘法，我們可以定義出矩陣的正整數冪，例如：
可以證明，矩陣的冪也符合冪的一部分運算規律：
但是由於矩陣乘法沒有交換律，所以一般情況下，
。如果兩個矩陣可交換，即ab=ba，此時矩陣乘法也就滿足二項式定理：
探索：可交換矩陣有什麼特殊之處？
有時候我們需要把矩陣的行向量變成列向量，列向量變成行向量，這種操作被叫做轉置，用t表示：
對於轉置，可以證明：
注意矩陣乘積的轉置，在分離時需要交換順序。
練習：證明這個結論。
探索：矩陣運算還有什麼不一樣的規律？
矩陣的運算
目錄 1.矩陣與數相乘 每一項都要乘 2.矩陣的加減運算 每一項都要乘 3.矩陣相乘 4.矩陣對應元素相乘 同型矩陣 5.矩陣的轉置 t 6.矩陣的共軛轉置 h 7.矩陣的逆 i 8.矩陣的試圖 a import numpy as np m1 np.mat 1,2,3 2,3,4 print m m...
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矩陣的常用運算包括 加法 減法 點乘 點除和乘法等。矩陣的加法就是2個矩陣對應位置的數值相加。in 1 import numpy as np in 2 m1 np.array 1,2,3 4,5,6 np.uint8 in 3 m2 np.array 4,5,6 7,8,9 np.uint8 in ...
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1 include2 using namespace std 3int main 1920 21 cout 請輸入矩陣b的行數和列數 22 cin x k 23 cout 請輸入矩陣b 24for int i 0 i x i 253031 32 cout 矩陣a為 33for int i 0 i n...