數論中的乙個重要問題是確定乙個數是否為素數。
素數在研究編碼的密碼學(cryptography) 中起著重要的作用。
在現代電子通訊領域中，計算機經常用於執行編碼和解碼操作。許多可用的、最好的編碼技術都是基於素數。
設計乙個確定整數n是否為素數的函式，思路：
如果直接從素數的定義出發，最直接的方法是，檢查是否有兩個約數。
由於n的約數必須小於等於n，因此只要檢查所有1到n之間的數，就會找出所有的約數。
決定n是否為素數，步驟：
(1) 檢查1到n之間的每個數，看它是否能整除n。
(2) 每次遇到乙個新約數，計數器加1。
(3) 在所有的數都被測試以後，檢查約數計數器的值是否為2。
isprime取乙個整數n，返回乙個布林值，是乙個謂詞函式。
**實現如下：
#include
#include
/* determine if it is prime. */
/* function prototype */
bool isprime
(int n)
;/* main program */
main()
else
}/* function */
bool isprime
(int n)
return
(count ==2)
;}
isprime函式表示了確定乙個數是否為素數的演算法。
為了說明它確實是乙個演算法，結合演算法必須滿足的三個要求，加以說明：
(1) 定義是明確的，無二義性的。
當用一種程式語言表示乙個演算法時，該語言的定義指定精確的解釋。
乙個正確執行的編譯器只會以一種確定的方法解釋語句。
在程式語言中，某一語句的意義稱為語言的語義(semantic) 。
(2) 有效性，即它的步驟都是可執行的。
以程式形式表示的演算法有助於滿足這個要求。
c程式語言的語義為程式中的每一種結構指定了它的意義，編譯器會產生機器執行所必需的指令。
(3) 有限性，即在執行有限步後演算法會結束。
通過檢查程式的結構發現，函式中僅有的長期執行的部分是乙個for迴圈，將執行n個週期，最終是會返回的。
對於簡單程式，通過說明維護了相應的迴圈不變式，可以容易地說明程式的正確性。
對於複雜程式，存在兩種方法可以增加對程式正確性的把握：
(1) 桌面檢查(desk-checking)
按著程式**一步一步執行，確信程式的行為和要求一致。
(2) 測試(testing)
利用盡可能多的測試例項執行程式，對每種情況都檢查執行結果是否正確。
常見錯誤：
當寫乙個程式時，盡量徹底地測試程式是很重要的。
儘管這樣，程式中還會有許多測試沒有發現的錯誤，因為通常不可能將每一種可能出現的情況都測試一下。
1.1小節演算法的效率比較低。
改善isprime執行的效率，存在以下三種策略：
(1) 只要發現任何大於1小於n的約數，就能停下來報告n不是素數。
需要改變程式結構，一旦發現了約數，函式立即返回。
(2) 一旦函式已經檢查了n是否能被2整除，就不需要檢查它是否能被其他偶數整除。
因此，一旦確定n不可能被2整除，只需要檢查奇數。
(3) 該程式不需要試探任何大於n的平方根的約數。
因為n等於d
1d_1
d1xd
2d_2
d2，如果其中乙個因子大於n的平方根，那麼另乙個一定小於n的平方根。
因此，如果n有任何約數的話，肯定有乙個小於它的平方根。
這意味著，程式中的for迴圈只要執行i≤n
i \leq \sqrt n
i≤n
次。**實現如下：
#include
#include
#include
/* function */
bool isprime
(int n)
return true;
}
常見問題：
(1) 當設計乙個通用演算法時，考慮是否存在使通用演算法失敗的特例是很重要的。如果存在這種特例，必須確保在程式中明確地處理這些特例。如：
if
(n <=1)
return false;
if(n ==2)
return true;
(2) 當在某一程式中使用迴圈時，檢查一下是否在迴圈中存在某些放在迴圈開始前執行更好的計算。如果存在，則可以計算一次結果，把它存在乙個變數裡，然後在迴圈中使用這個變數，從而改善程式的效率。
正確：
limit =
for(i =
3; i <= limit; i +=2
)...
for
(i =
3; i <=
sqrt
(n)+
1; i +=2
)...
sqrt函式， 儘管每一次迴圈返回的結果都是相同的。—— 效率低
(3) 對浮點數判斷嚴格的相等是很危險的，該實現的正確性取決於硬體如何執行浮點數運算。
為了確保起見，函式總是多檢查乙個可能的約數。
此外，將limit宣告為int型別，從而確保for迴圈控制行中所用的所有值都是整數。
正確：
int limit;
limit =
sqrt
(n)+
1;
double limit;
limit =
sqrt
(n);
isprime的 最初版本 vs 新版本：
最初版本可讀性好，而新版本執行效率高。
當為某乙個問題選擇乙個演算法時，最關心的是正確性。使程式更加有效是乙個極好的目標，但不要為了追求效率而使程式給出錯誤的答案。
保證了正確性以後，影響程式設計成功與否的重要因素，包括：
效率、清晰度和可維護性。
參考《c語言的科學和藝術》 —— 第6章 演算法
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