一段時間沒複習總是忘，做個筆記存個檔方便下次回來看
單位元：
在乙個群裡，和其他任何乙個元素相結合，都不會改變那個元素的特殊元素。加法的單位元是0，乘法的單位元是1。迴圈群：
設是乙個群，i是整數集合。如果存在乙個元素g∈g，對於每乙個元素a∈g都有乙個相應的i∈i，能把a表示成gi形式，則稱是乙個迴圈群。g是的生成元。迴圈群的定義包含了以下幾個資訊：可以生成群中包括其自身的所有元素的g；對於群裡任意乙個元素，g通過自運算變成這個元素的次數i。
元素的階：
設是群,若a∈g,使得a的k次方=e成立的最小正整數k成為a的階,記做|a|。
定理 設是由g∈g生成的有限迴圈群，如果|g|=n，則gn=e，該定理的意思是，g作為生成元，自運算其生成群g的元素個數的次數，會變成群的單位元。而且，g的每次自運算結果都不同，分別對應每個群元素。到g自運算變成單位元為止是乙個週期。這個得到單位元的自運算次數是g得到群單位元的最小自運算次數（或者說乙個週期長度）。g=且n是使gn=e的最小正整數。
首先理解為什麼必須是gn=e。n是群元素個數，或者說群階數，都行。自運算次數不能小於群元素個數嗎？那麼假設有mgm=
eg^m=e
gm=e
，那麼對於任意乙個數km+
rkm+r
km+r
，gkm
+r=g
km⋅g
r=e⋅
gr=g
rg^=g^·g^r=e·g^r=g^r
gkm+r=
gkm⋅
gr=e
⋅gr=
gr；這意味著，所有的元素都可以表示成gr，由於rgm+
1=g，
gm+2
=g2，
gm+3
=g3,
...,
gm+m
=g2m
=(gm
)2=e
2=e，
gm+m
+1=g
g^=g，g^=g^2，g^=g^3,...,g^=g^=(g^m)^2=e^2=e，g^=g
gm+1=g
，gm+
2=g2
，gm+
3=g3
,...
,gm+
m=g2
m=(g
m)2=
e2=e
，gm+
m+1=
g，到自運算m次得出單位元為止，完成乙個迴圈，m就是週期長度，表示乙個週期內不同元素個數。所以自運算到得出單位元時的那個冪標誌著週期的終點，它必須且只能等於這個群的階數，這樣才能滿足且閉合迴圈群的定義。
m>n的情況同理，也是不可能的。
由上面的定理，我們察覺到，元素的階和元素本身是有聯絡的，元素的階在特定條件下是有意義的。比如對於生成元來說，元素的階就等於群階。那麼對於其他的元素，是否具有類似規律？
定理 如果群的元素a擁有乙個有限階n，則ak=e，當且僅當k是n的倍數。（本定理本是有限群的普遍定理，現在放在迴圈群裡研究驗證特殊的性質）
可以先拿模8**作為研究物件，看看其規律；
模8**的元素有：
0，1，2，3，4，5，6，7，其中0是單位元
先看生成元，按照生成元的定義，其必須在8次自運算內不重複地生成群內所有元素。
元素\i12
3456
7800
0000
0001
1234
5670
2246
0246
0336
1472
5044
0404
0405
5274
1630
6642
0642
0776
5432
10可以看到，能完整生成所有群元素的只有1，3，5，7。其他元素如2，4，6只能生成部分元素，且能夠生成的元素範圍也不同。如下表所示：元素1
2345
67階數8
4828
48可以發現，元素的階數都是群階數的公因子。當元素和群階數互素時，元素階數是最大公因子，也就是群階數。
為什麼會出現這種情況？
其實細想道理很簡單，首先，如果在n次冪運算後等於單位元，對於模8加法群來說，就是乙個數自加8次，最後結果是8的倍數，或者說可以整除8。這當然是句廢話。看錶就知道，所有元素最後一列的運算結果都是單位元。正因為如此，和8有公因子的元素就顯得特殊了，比如元素6，6和8的最小公倍數是24，這意味著，當6自加到24時就能整除8得到單位元，此時就完成了乙個週期的閉合，所以它的元素階數一定是小於8的，而且必然是可以被群階8整除的乙個數（因為兩個整數的最小公倍數除掉兩個中的任意乙個，結果都可以被另乙個數整除，證明如下）。
證明：設有任意整數a,b，另其最大公約數d，且a=dm，b=dn(m,n為整數)；如果元素和8互素，那按照上面總結出的規律，最小公倍數只能是元素和8的乘積，元素的階也只能是8。對於最小公倍數e，e=ab/d=dm·dn/d=mnd；
故e/a=n=b/d，e/b=m=a/d.
總結一下迴圈群的規律，就是：迴圈群裡的每個元素都有階，每個元素的階都能被群階整除。
附上模8加法表：+0
1234
5670
0123
4567
1123
4567
022
3456
70133
4567
0124
4567
0123
5567
0123
4667
0123
4577
0123
456然而，還有沒被詳細說明的幾個可能存在額問題需要進行補充：
首先，迴圈群中的元素都是有限階嗎？
答：是的。證明如下：
證明：對群內任意乙個元素a=gi，an=gni=ei=e，故任意乙個有限群內的元素，必有有限階。問2：有沒有這樣一種可能:，即乙個元素的階次運算內，會出現除了單位元以外的重複結果？比如元素a的階為3，3次運算結果是b，b，e ？
答： 不可能出現這種情況。因為結合運算的逆元唯一，所以群內所有元素逆元唯一，所以對於任何元素a，只存在唯一乙個b使得a·b=c，所以對於群運算表中任意一行（列）中所含的任意元素不可能多於一次。設有任意元素a，其階為n，設n>t>i，且ai=at。可以推論
ai-1=at-1…a0=at-i，所以at-i=e，t-i>0，由於t-i定理 如果是乙個群，則對於任何a，b，c∈g,
a·b = a·c ——> b=c
b·a = c·a ——> b=c
定理 群的運算表中的每一行或每一列都是g中元素的乙個置換。綜上：對於乙個迴圈群，任意乙個元素都能生成乙個迴圈子群，且子群的階可以被群階整除（或者表述為，任何元素的階都是群階的因子）；如果是加法群，與群階互素的元素生成的子群就是迴圈群本身。
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