迴圈群：乙個元素不斷作用生成的群
例子：
,+
4>是以
1為生成
元的迴圈
群因為2
=1+1
4=12
3=1+
14+1
4=13
0=2+
24=1
4
,+
4>
=\color 是以1為生成元的迴圈群\\ 因為2=1+1_4=1^2\\3=1+1_4+1_4=1^3\\0=2+2_4=1^4\\ =\
,+4
>是以
1為生成
元的迴圈
群因為2
=1+1
4=1
23=1
+14
+14
=130
=2+2
4=1
4,+4
>
=
+>==
\color =\,1^,1^,0,1，1^2，1^3……\}\\= \,(-1)^,(-1)^,0,(-1)^，(-1)^，(-1)^……\}
+>==
生成元g與g的個數
迴圈群的子群
∗>為群
，∃g∈
g,∀x
∈g,∃
i∈n,
s.t.
x=gi
,並稱g
為g的生
成元
為群，\exists g\in g,\forall x\in g,\exists i\in n,s.t. \ \ x=g^i ,並稱g為g的生成元
∗>為群
，∃g∈
g,∀x
∈g,∃
i∈n,
s.t.
x=gi
,並稱g
為g的生
成元根 據g
的階分類
無限迴圈
群(迴圈
週期是無
限的)：
g=
根據g的階分類 \left\ n階迴圈群(迴圈週期為n)：g=\\\ 無限迴圈群(\tiny 迴圈週期是無限的\normalsize )：g=\,g^, g^0=e,g^1,g^2,…… \} \end\right.
根據g的階分
類無限循
環群(循
環週期是
無限的)
：g=
證
明\left\\mathrm：\mathrm\vert g\vert=n,設\vert g\vert=m，\mathrmn=k\ast m,\mathrmm\leq n,設a\in g,a=g^s\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;s=mg+r(\mathrm)，a=g^s=g^r,\mathrmg\mathrmm\mathrm，\vert g\vert=n\leq m，\mathrm\\\mathrm：\mathrm\vert g\vert=n,\forall a\in g,a=g^k=g^=g^r\mathrmg\mathrmn\mathrm，\vert g\vert\leq n\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrmg\mathrm，\mathrm1\leq i證明
⎩⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎧
必要性：
已知∣g
∣=n,
設∣g∣
=m，由
拉格朗日
定理n=
k∗m,
所以m≤
n,設a
∈g,a
=gss
=mg+
r(帶餘
除法)，
a=gs
=gr,
由此g中
最多有m
個元素，
∣g∣=
n≤m，
矛盾充分
性：已知
∣g∣=
n,∀a
∈g,a
=gk=
gn∗q
+r=g
r因而g
中最多有
n個元素
，∣g∣
≤n下面
證g中的
元素不同
，若存在
1≤in,gi
=gj,
則gj−
i=gj
∗g(−
1)i=
gj∗(
gi)−
1=e則
g的階數
由n變為
了j−i
所以g中
的元素互
不相同∣
g∣=n
\mathrm：g\mathrmg與g^\\n\mathrm：有\phi(n)\mathrm（\phi(n)\mathrm，\mathrmn與n\mathrm）\end\right.,∗
>外都
是無限的
n階迴圈
群，對於
n的每個
正因子d
,恰好有
乙個d階
子群
\begin\mathrm\\\end\left\\mathrm<\,\ast>\mathrm\\n\mathrm，\mathrmn\mathrmd,\mathrmd\mathrm\end\right.
迴圈群的子群
仍是迴圈
群,∗
>外都
是無限的
n階迴圈
群，對於
n的每個
正因子d
,恰好有
乙個d階
子群證明如下:任一元素的階整除群的階。現在群的階是素數p,所以元素的階要麼是1要麼是p.
g中只有乙個單位元，其它元素的階都不等於1,所以都是p。
任取乙個非單位元，它的階等於p,所以它生成的g的迴圈子群的階也是p,從而等於整個群g。所以g等於它的任一非單位元生成的迴圈群
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