iff 當且僅當
s set
o orbit
可以用集合生成群，群中的元素為集合中元素本身或逆的有限次乘積。則可證 a,b屬於群，則a乘b的逆屬於群。
特別的，當集合只有乙個元素時，群即為此元素的迴圈群，元素稱為生成元。例如 整數**是由1作為生成元生成的
集合有限 群 稱為有限生成群
置換群sn n》=3不是置換的 階為n的階乘
sn可由所有的輪換生成 輪換就是部分連續的一圈向前移一位。
《 這有點象一種資料結構。感覺最起碼可以用資料結構實現。
記為將指標用圓括號將輪換的指標括起來
輪換不相交 就是 兩個圈不重複
更進一步置換可由不相交輪換的積，且如果次序不計寫法唯一。因為不相交，所以滿**換律。
更近一步 sn可由 1和其他位置的對換《（1，j）
練習題：乙個群減去自己的非空真子群後，作為生成元組能生成整個群。（群的配集分解）
『』』之所以會定義群，就是要描述它在物件上的作用。最原始的群就是對稱群和置換群，
他們在初等的galois理論**現，並作用在集合上。
群這個概念之所以有意義，就是因為它能作用在物件上，沒有群的作用，也就沒有群。
群作用就是群的一種具體實現方式，也就是把群裡面的元素看成某個集合上面的雙射
『』』《
對單位元和元素的作用仍對映為集合中的元素
其次對兩個群元素積和元素的作用對映 兩次作用的復合
特別的，當群作為集合，可定義群在群上的作用（群自身對自身的作用，就像同一維空間的矩陣相乘）：
左平移gx 右平移 xg逆
還有伴隨作用 gxg逆
當集合上任意兩元素存在作用屬於群使得作用等式成立，則稱作用是可遞的（在被作用空間傳遞）。集合稱為群的 齊性空間。
稱任何作用都保持不變的群作用是平凡的。（g在g上的伴隨作用為平凡當且僅當g為阿貝爾群。）
稱只有群中的么元作用保持恒等時，群在集合上的作用是有效的。
群對群的左平移和右平移即是可遞的又是有效的。
群 到 集合的置換 的 對映是同態，（此二元函式作用域與值域的特殊關係）
群對集合的作用是有效的 當且僅當 每個作用是一一的。
注：可逆作用與置換群的關係： 同態
有效時：只有單位元才映成單位元 所以對映的核為單位元 意味著對映是單射 是一一對映。
（核就是映為單位元的那個，所以同態基本定理就和移項乘法一樣）
稱當x不動時，群中元素對x作用的結果為x的軌道。《ox
(某元素的)迷向子群fx： 是所有 恒等作用的集合 構成的群。可證其為作用的子群。
例子： rn(n維歐幾里得空間) 集合的特殊正交群（special orthogonal group）
正交群的元素的行列式都是1或-1，其中行列式為1的全體正交變換組成乙個子群，稱為特殊正交群min
（不顛倒的正交變換，兩行互換就是顛倒）————————————————————————————
對某單位向量（1，0，0，0 0，0）作用的結果是 n-1維單位球面。
則迷向子群為分塊對角矩陣 1，a a屬於-1維特殊正交群。 （5）20min
三個等價關係：
1 軌道是一種等價類： 由於群的特性 與 軌道的定義 顯然成立
2 軌道上的可遞作用有效當且僅當 迷向子群fx包含g的正規子群僅有 e（稱只有群中的么元作用保持恒等時，群在集合上的作用是有效的。）
有效和迷向子群都是描述恒等對映的。有效說群的有效，迷向是對乙個元素作用的子群。
首先建立作用群與軌道置換的對映，有效即對映的核為單位元。
核為正規子群，且 核是恒等對映 則必要性得證。
任意元素屬於 正規的迷向子群， 即 在乙個類似伴隨的作用作用之後任然吸收。
首先聚焦在?? 恒等變換中 g的正規子群
用 單位元的分解技巧 體會這種正規作用的特殊性
其能夠保持軌跡恒等? 所以其屬於對映的單位元
g在每個軌道上的作用是可遞的，是否有效則由迷向子群所包含的g的正規子群確定。
3. 第三條 說的是迷向子群之間的關係 ，y=g(x),fy=gfxg^(-1)
the last but not least
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