二分查詢演算法詳解

二分查詢針對的是乙個有序的資料集合，查詢思想有點類似分治思想。每次都通過跟區間的中間元素對比，將待查詢的區間縮小為之前的一半，直到找到要查詢的元素，或者區間被縮小為 0。

二分查詢是一種非常高效的查詢演算法，高效到什麼程度呢？我們來分析一下它的時間複雜度。

我們假設資料大小是 n，每次查詢後資料都會縮小為原來的一半，也就是會除以 2。最壞情況下，直到查詢區間被縮小為空，才停止。

可以看出來，這是乙個等比數列。其中 n/2k=1 時，k 的值就是總共縮小的次數。而每一次縮小操作只涉及兩個資料的大小比較，所以，經過了 k 次區間縮小操作，時間複雜度就是 o(k)。通過 n/2k=1，我們可以求得 k=log2n，所以時間複雜度就是 o(logn)。

二分查詢的時間複雜度是 o(logn)，查詢資料的效率非常高。不過，並不是什麼情況下都可以用二分查詢，它的應用場景是有很大侷限性的。那什麼情況下適合用二分查詢，什麼情況下不適合呢？

首先，二分查詢依賴的是順序表結構，簡單點說就是陣列。

那二分查詢能否依賴其他資料結構呢？比如鍊錶。答案是不可以的，主要原因是二分查詢演算法需要按照下標隨機訪問元素。陣列按照下標隨機訪問資料的時間複雜度是 o(1)，而鍊錶隨機訪問的時間複雜度是 o(n)。所以，如果資料使用鍊錶儲存，二分查詢的時間複雜就會變得很高。

二分查詢只能用在資料是通過順序表來儲存的資料結構上。如果你的資料是通過其他資料結構儲存的，則無法應用二分查詢。

其次，二分查詢針對的是有序資料。

二分查詢對這一點的要求比較苛刻，資料必須是有序的。如果資料沒有序，我們需要先排序。前面章節裡我們講到，排序的時間複雜度最低是 o(nlogn)。所以，如果我們針對的是一組靜態的資料，沒有頻繁地插入、刪除，我們可以進行一次排序，多次二分查詢。這樣排序的成本可被均攤，二分查詢的邊際成本就會比較低。

但是，如果我們的資料集合有頻繁的插入和刪除操作，要想用二分查詢，要麼每次插入、刪除操作之後保證資料仍然有序，要麼在每次二分查詢之前都先進行排序。針對這種動態資料集合，無論哪種方法，維護有序的成本都是很高的。

所以，二分查詢只能用在插入、刪除操作不頻繁，一次排序多次查詢的場景中。針對動態變化的資料集合，二分查詢將不再適用。那針對動態資料集合，如何在其中快速查詢某個資料呢？別急，等到二叉樹那一節我會詳細講。

再次，資料量太小不適合二分查詢。

如果要處理的資料量很小，完全沒有必要用二分查詢，順序遍歷就足夠了。比如我們在乙個大小為 10 的陣列中查詢乙個元素，不管用二分查詢還是順序遍歷，查詢速度都差不多。只有資料量比較大的時候，二分查詢的優勢才會比較明顯。

不過，這裡有乙個例外。如果資料之間的比較操作非常耗時，不管資料量大小，我都推薦使用二分查詢。比如，陣列中儲存的都是長度超過 300 的字串，如此長的兩個字串之間比對大小，就會非常耗時。我們需要盡可能地減少比較次數，而比較次數的減少會大大提高效能，這個時候二分查詢就比順序遍歷更有優勢。

最後，資料量太大也不適合二分查詢。

二分查詢的底層需要依賴陣列這種資料結構，而陣列為了支援隨機訪問的特性，要求記憶體空間連續，對記憶體的要求比較苛刻。比如，我們有 1gb 大小的資料，如果希望用陣列來儲存，那就需要 1gb 的連續記憶體空間。

注意這裡的「連續」二字，也就是說，即便有 2gb 的記憶體空間剩餘，但是如果這剩餘的 2gb 記憶體空間都是零散的，沒有連續的 1gb 大小的記憶體空間，那照樣無法申請乙個 1gb 大小的陣列。而我們的二分查詢是作用在陣列這種資料結構之上的，所以太大的資料用陣列儲存就比較吃力了，也就不能用二分查詢了。

尋找第乙個值等於給定值的元素

public int bsearchv1(int arr, int n, int value)  else if (arr[mid] < value)  else  else 
}}

我們分析一下第乙個案例的**：

arr[mid]跟要查詢的 value 的大小關係有三種情況：大於、小於、等於。對於 arr[mid]>value 的情況，我們需要更新 high= mid-1；對於 a[mid]如果我們查詢的是任意乙個值等於給定值的元素，當 a[mid]等於要查詢的值時，arr[mid]就是我們要找的元素。但是，如果我們求解的是第乙個值等於給定值的元素，當 a[mid]等於要查詢的值時，我們就需要確認一下這個 a[mid]是不是第乙個值等於給定值的元素。

如果 mid 等於 0，那這個元素已經是陣列的第乙個元素，那它肯定是我們要找的；如果 mid 不等於 0，但 arr[mid]的前乙個元素 arr[mid-1]不等於 value，那也說明 a[mid]就是我們要找的第乙個值等於給定值的元素。

如果經過檢查之後發現 arr[mid]前面的乙個元素 arr[mid-1]也等於 value，那說明此時的 arr[mid]肯定不是我們要查詢的第乙個值等於給定值的元素。那我們就更新 high=mid-1，因為要找的元素肯定出現在[low, mid-1]之間。

尋找最後乙個值等於給定值的元素

public int bsearchv2(int arr, int n, int value)  else if (arr[mid] < value)  else  else }}
return -1;
}

尋找第乙個大於等於給定值的元素

//尋找第乙個大於等於給定值的元素
public int bsearchv3(int arr, int n, int value)  else  else }}
return -1;
}

尋找最後乙個小於等於給定值的元素

public int bsearchv4(int arr, int n, int value)  else  else }}
return -1;
}

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