給定乙個字串，你的任務是計算這個字串中有多少個回文子串。對於這個問題，簡單的思路是列舉字串中的每個子串，然後判斷子串中回文串的個數。o(n^3)具有不同開始位置或結束位置的子串，即使是由相同的字元組成，也會被視作不同的子串。如"abc"有三個回文子串『a','b','c'.
示例 1：
輸入："abc"
輸出：3
解釋：三個回文子串: "a", "b", "c"
示例 2：
輸入："aaa"
輸出：6
解釋：6個回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
本篇文章主要介紹我個人對馬拉車演算法實現思路的一些想法，原題解請看leetcode-647.回文子串
由於回文串有對稱性這一特點，每個回文串必然存在乙個對稱中心。我們可以對字串中每個字元或兩個字元之間的位置(若回文串長度為偶數)當作對稱中心進行列舉,例如s="abcba",當i=2時，判斷a[1]==a[3],a[0]==a[4].....如果左右兩邊字元相同時則繼續擴充套件，一旦不相同則更新最大擴充套件長度並退出當前迴圈，繼續列舉下乙個對稱中心。
假設字串的長度為 n，列舉每個對稱中心(長度為 1 和 0的對稱中心分別有 n 和 n-1 個)，共遍歷2n-1次，時間複雜度為 o(n)；每個對稱中心最多向外拓展n次，所以整體的時間複雜度是 o(n^2)。空間複雜度為o(1)。
**如下(直接抄leetcode了):
//遍歷2n-1次，就能夠得到所有可能的對稱中心
for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++)
}
為了更簡單直接地說明問題，我舉乙個極端的特例:字串s="aaaaaaa"，並先對奇回文子串進行查詢。儘管我們在以第2位字元為對稱中心左右擴充套件時能夠發現左回文子串s1="aaa"，並且以第四位字元為對稱中心左右擴充套件能夠發現了長回文串s，那麼之後的查詢中是否仍需要匹配後三位字串呢？設im為長回文串的對稱中心
其實，我們可以發現，若在乙個長回文串中發現了左回文子串，根據回文串的對稱性，那麼在一定區域內的右子串中必然也存在乙個回文串。因此，上述重複查詢過程是可以省去的。
馬拉車演算法的核心思路就在於，對每個長回文串的對稱中心向兩邊進行拓展，同時記下前面已經查詢過的回文子串半徑(原理是動態規劃的思想)，其本質在於，如果能夠找到乙個長回文串，同時在它的對稱中心左區域中找到乙個回文子串，由於回文串的對稱性，其右區域中必然是同樣的回文子串。因此這個演算法能快速地找出最長的回文子串。當然也能用來求解回文子串的個數。
1.預處理(解決了奇偶回文串問題)：
預處理**如下
s = '$' + input().replace('', '#') + '!'
#為了避免陣列越界，讓開頭和結尾的兩個字元一定不相等，迴圈就可以在這裡終止。
這裡有兩種情況:
當找到乙個長回文串時，取其對稱中心為im，對於其中的每個對稱中心i，我們可以求出關於im的對稱位置j=2*im-i
在這個長回文串範圍內，可以通過對稱性得到d[i]=d[j] 。
注意當d[j]>r-i時，通過d加速拓展的右子串超出了長回文串的範圍。然而大於右端點的回文串我們還沒有開始匹配，此時d[i] = r - i .比方說，當im=3時,有r=5;當i=5時,有j=1,並且前面已經算出d[j] = 1。此時d[j]>r-i，向右拓展超出了長回文串範圍，則d[i]應為i到右端點r的距離,即r-i。因此，當對稱中心i被包含在當前最大回文串內時，有
d[i]=min(d[2 * im - i],r - i) （核心：如果d[j]+i<=r,則d[i]=d[j],否則d[i]=r-i）3.中心拓展：
經過了上面的初始化，我們每次列舉對稱中心的時候就都能夠保證 s[i-d[i]]=s[i+d[i]]，而現在，只要再滿足ts[i - d[i]-1]==ts[i + d[i]+1]，則不斷向左右兩邊拓展半徑。
綜上所述，我們能夠寫出馬拉車演算法的核心**：
for i in range(2, len(s)-2):
if(i<=r):#當對稱中心i被包含在當前最大回文串內時，拓展過程可以加速(核心)
d[i]=min(d[2 * im - i] , r - i )
while (s[i - d[i] - 1] == s[i + d[i] + 1]):#滿足條件，向左右拓展半徑
d[i] += 1
#d#a
#d#b
#d#a
#c#!
i012
3456
78910
1112
1314
1516
d[i]10
3010
5010
101
其實在上述的核心思路中，在列舉每個回文子串的對稱中心時，也在不斷匹配最大回文串並更新im和r。利用已經算出來的狀態來更新d[i]，這就是一種動態規劃的思想。
對於乙個回文串，我們用d[i]記錄了其對稱中心到右端點的距離。以上面的例子來說明，當i=8時(屬於i>r的情況)，計算出d[i]=5，則此時容易得到r=i+d[i]=13,同時更新im=8。對於i<=r的情況，如果i+d[i]>r，說明當前對稱中心i拓展出了回文串，於是此時需要更新對稱中心im為i,右端點r為i+d[i]。而對於i>r的情況,由於d[i]總是等於0，此時更新im=i,r=i；即
if (i + d[i] > r):
im, r = i, i + d[i]
while (s[i - d[i] - 1] == s[i + d[i] + 1]) d[i]++;
if (i + d[i] > r)
然後不斷更新最大回文串的對稱中心im和 r，通過d[i] = min(d[2 * im - i], r - i)快速求解如何求解ans就不解釋啦，直接上**:
s = '$' + input().replace('', '#') + '!'
d,im,r,ans= [0]*(len(s)-2),0,0,0
for i in range(1, len(s)-2):
if (i <= r):#當對稱中心i被包含在當前最大回文串內時，拓展過程可以加速
d[i] = min(d[2 * im - i], r - i) #核心：如果d[j]+i<=r,則d[i]=d[j],否則d[i]=r-i
while (s[i - d[i] - 1] == s[i + d[i] + 1]):#滿足條件，向左右拓展半徑
d[i] += 1
if (i + d[i] > r):
im, r = i, i + d[i]
ans += (d[i] + 1) // 2
print(ans)
另外，如果再用乙個變數ma記錄d[i]的最大值，稍微改一下最後兩行，就可以找出字串中的最長回文子串：
ma,ans = (d[i],ts[i-d[i]:i+d[i]]) if (d[i]>ma) else (ma,ans)
print(ans.replace('#',''))
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