開發過程，經常需要對資料集合進行維護。
維護資料結合的資料結構可統稱為容器。
最小堆是維護資料集合的容器的一種，
最小堆具備如下性質：
設v[i]為位置i的元素值
1. 對維護的n個元素，順序儲存於索引為1-n的陣列位置
2. 對索引i，
若索引2*i <= n，有v[i] <= v[2*i]，
若索引2*i+1 <= n，有v[i] <= v[2*i+1]。
最小堆為具備特殊性質的容器。
template class minheap
;
template minheap::minheap()
template minheap::minheap(const array::dynarray& arrelements_)
template void minheap::buildheap(const array::dynarray& arrelements_)
for (int _i = _nsize; _i >= 1; _i--) }
template void minheap::adjust(int nindex_)
if (_nr < m_arrelements.getsize()
&& m_arrelements[_nr] < _nmin)
if (_nminpos == nindex_)
else
}
template minheap::minheap(const minheap& mha_)
template typename minheapminheap::operator=(const minheap& mha_)
m_arrelements = mha_.m_arrelements;
return *this;
}
template minheap::~minheap()
template void minheap::add(const t& nt_)
if (_nsize == 0)
// 新元素索引
if ((_nsize + 1) % 2 == 0)
else
// 將新增位置元素設定為指定值
if (nt_ < m_arrelements[_nsize + 1])
else if (nt_ > m_arrelements[_nsize + 1])
else }
template void minheap::smaller(int npos_)
int _np = npos_ / 2;
if (m_arrelements[_np] <= m_arrelements[npos_])
else }
template void minheap::bigger(int npos_)
if (_nr < m_arrelements.getsize()
&& m_arrelements[_nr] < _nmin)
if (_nminpos == npos_)
else
}
template void minheap::delete(int nindex_)
if (_nsize == 1)
m_arrelements[nindex_] = m_arrelements[1] - 1;// 變得比最小還小
smaller(nindex_);// 調節後，原nindex位置元素必位於索引為1位置
m_arrelements[1] = m_arrelements[_nsize];
m_arrelements.deletebyindex(_nsize);
bigger(1);
}
template int minheap::find(std::functionfun_)
} return -1;
}
輸入：無序的含n個元素的陣列
演算法目標：
輸入陣列中n個元素以符合最小堆定義的方式儲存於m_arrelements的索引1,...,n處
正確性證明：
演算法主體採用迴圈迭代實現，迭代實現的一般用迴圈不變式證明正確性
for (int _i = _nsize; _i >= 1; _i--)
迴圈不變式：
區間[_i+1, _nsize]內各個元素均滿足，
對區間內任意位置k的元素，有以下位置約束
若2*k位置元素存在，則有v[k] <= v[2*k]
若2*k+1位置元素存在，則有v[k] <= v[2*k+1]
證明：初始時，區間為[_nsize+1, _nsize]為空 區間，迴圈不變式成立
對_i = k的迭代
依據迴圈不變式【本次迴圈迭代前的各個迭代後，迴圈不變式均滿足】
所有_i > k的迭代處理後，迴圈不變式均滿足
只需證明：adjust(nindex_)
在[nindex_+1, nsize]區間內任意元素均滿足 位置約束前提下，
通過調節[nindex_, nsize]區間內元素位置，
可實現[nindex_, nsize]區間內任意元素均滿足 位置約束的效果即可。
如上述證明成立，則，迴圈不變式成立。
證明：adjust(nindex_)具備上述性質
1. 若k位置元素小於其可能存在的左孩子，右孩子元素
無需處理。
此時，結合演算法前提，可知結論成立。
2. 若k位置元素 比起左孩子，或右孩子大
讓孩子中最小的元素 和 k位置元素交換位置
交換後，對k位置，滿足位置約束
對換入k位置元素的位置t， 該位置的元素相比原來變大了
此時我們希望求解
在[t+1, nsize]區間內任意元素均滿足 位置約束前提下，
通過調節[t, nsize]區間內元素位置，
可實現[t, nsize]區間內任意元素均滿足 位置約束的效果即可。
這和要求解元素問題屬於同類問題。
綜合，在adjust處理中，
我們要麼立即求解。要麼轉化為對同類問題的求解。
我們可以證明，演算法在轉化為同類求解的時候，總是朝著更易終止的方向進行，且可以證明，至多在經歷θ(lg(n))次，遞迴後，必然可以得到立即求解的情形。
綜合，演算法成立。
按新增元素相比預先填充元素大小，實際演變為證明
smaller，bigger
演算法前提/背景：
本來區間[1, nsize]內所有位置均滿足位置約束
現在npos位置元素變小了，導致此位置可能不滿足位置約束
演算法目標：
通過對[1, nsize]各個元素進行位置調整，
使區間[1, nsize]內所有位置均滿足位置約束
1. 若npos_ == 1，無需處理
2. 若 m_arrelements[_np] <= m_arrelements[npos_]，無需處理
3. m_arrelements[_np] > m_arrelements[npos_]，
交換_np和npos_位置內容。
此時要求解問題：
本來區間[1, nsize]內所有位置均滿足位置約束
現在_np位置元素變小了，導致此位置可能不滿足位置約束
希望通過對[1, nsize]各個元素進行位置調整，使區間[1, nsize]內所有位置均滿足位置約束
這是和原問題同型別的問題
綜合，在smaller處理中，我們要麼立即求解。要麼轉化為對同類問題的求解。
我們可以證明，演算法在轉化為同類求解的時候，總是朝著更易終止的方向進行，且可以證明，至多在經歷θ(lg(n))次，遞迴後，必然可以得到立即求解的情形。
類似minheap::smaller假設元素集合中元素個數為n時間複雜度θ(1)時間複雜度θ(nlg(n))時間複雜度θ(n)時間複雜度θ(n)時間複雜度θ(1)時間複雜度o(lg(n))時間複雜度o(lg(n))時間複雜度o(n)基本資料結構 最小堆
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資料結構 大小堆
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