隨筆06 異或的性質

這篇文章沒有**。介紹的是純理論的思路。

異或是一種基於二進位制的位運算，用符號xor或者 ^ 表示。其運算法則是對運算子兩側數的每個二進位制位，同值取0，異值取1。它與布林運算的差別在於，當運算子兩側均為1時，布林運算的結果為1，異或運算的結果為0。

== 異或的性質：==

了解了上面這些。來看看這個，非常重要。後面的程式都要用到這個結論：

對於隨意的a，有a^b^c^d^a^k = b^c^d^k^(a^a) = b^c^d^k^0 = b^c^d^k，也就是說。假設有多個數異或，當中有反覆的數，則不管這些反覆的數是否相鄰。都能夠依據異或的性質將其這些反覆的數消去。

詳細來說，假設反覆出現了偶數次。則異或後會所有消去。假設反覆出現了奇數次，則異或後會保留乙個。

以下來看兩道題目：

當然。這道題，能夠用最直觀的方法來做。將所有的數加起來，減去1+2+3+…+1000的和，得到的即是反覆的那個數，該方法非常easy理解，並且效率非常高。也不須要輔助空間。唯一的不足時，假設範圍不是1000。而是更大的數字，可能會發生溢位。

我們考慮用異或操作來解決該問題。

如今問題是要求反覆的那個數字，我們姑且假設該數字式n吧，假設我們能想辦法把1-1000中除n以外的數字所有異或兩次。而數字n僅僅異或一次。就能夠把1-1000**n以外的所有數字消去，這樣就僅僅剩下n了。

我們首先把所有的數字異或，記為t，能夠得到例如以下：

t = 1^2^3^4...^n...^n...^1000 = 1^2^3...^1000（結果中不含n）

而後我們再讓t與1-1000之間的所有數字（僅包括乙個n）異或。便可得到該反覆數字n。例如以下所看到的：

t^(a^2^3^4...^n...^1000) = t^(t^n) = 0^n = n

這道題到此為止。

明確了上面題目的推導過程，這個就非常easy了，將陣列中所有的元素所有異或，最後出現兩次的元素會所有被消去，而最後會得到該僅僅出現一次的數字。

該題目相同能夠該為例如以下情景，思路是一樣的：陣列中僅僅有乙個數字出現了奇數次，其它的都出現了偶數次。