引子
如何判斷兩條直線是否相交？
這很容易。平面直線，無非就是兩種關係：相交 或 平行。因此，只需判斷它們是否平行即可。而直線平行，等價於它們的斜率相等，只需分別計算出它們的斜率，即可做出判斷。
但倘若我把「直線」換成「線段」呢——如何判斷兩條線段是否相交？
這就有些難度了。和 直線 不同，線段 是有固定長度的，即使它們所屬的兩條直線相交，這兩條線段也不一定相交。
也許你會說：分情況討論不就行了嘛：
的確，從理論上這是乙個可行的辦法，這也是人們手動計算時普遍採用的方法。
然而，這個方法並不怎麼適用於計算機。原因如下：
那麼，有更好的方法？
當然有。
對於「判斷兩條直線是否相交」這個問題，我們之所以能迅速而準確地進行判斷，是因為「相交」與「不相交」這兩個狀態有著明顯的不同點，即 斜率是否相等。
那麼現在，為了判斷兩條線段是否相交，我們也要找出「相交」與「不相交」這兩個狀態的不同點。
假設現在有兩條線段 ab 和 cd，我們畫出它們之間的三種關係：
其中，情況 1 為不相交，情況 2、3 為相交。
作出向量ac、ad、bc、bd。
首先介紹乙個概念：向量有序對的旋轉方向。這個概念指：對於共起點有序向量二元組(a, b)，其旋轉方向為使 a 能夠旋轉乙個小於 180 度的角並與 b 重合的方向，簡記為direct(a, b)。若a和b反向共線，則旋轉方向取任意值。
舉個例子：下圖中，direct(ac, ad)為順時針方向。
接下來我們要分析四個值：direct(ac, ad)、direct(bc, bd)、direct(ca, cb)、direct(da, db)。
不難發現，兩條線段相交的充要條件是：direct(ac, ad) != direct(bc, bd)且direct(ca, cb) != direct(da, db)。這便是「相交」與「不相交」這兩個狀態的不同點。
然而你可能會覺得：旋轉方向這麼乙個虛無飄渺的東西，怎麼用程式去描述啊？
再來看一幅圖：
再來定義有向角：
有向角不難看出，對於向量為 向量a逆時針旋轉到與 向量b重合所經過的角度。
a、b：
這樣一來，我們可以將旋轉方向的問題轉化為 求有向角正弦值 的問題。而這個問題，是很容易的。
如上圖，記
o a=
(x1,
y1),
ob=(
x2,y
2)oa = (x_1, y_1), ob = (x_2, y_2)
oa=(x1
,y1
),o
b=(x
2,y
2)∣oa
∣=r1
,∣ob
∣=r2
|oa| = r_1, |ob| = r_2
∣oa∣=r
1,∣
ob∣=
r2 則si
n(,o
b>
)sin(\lt oa, ob\gt)
sin(
,ob>)=si
nθ= sin \theta
=sinθ=si
n(α−
β)= sin (\alpha - \beta)
=sin(α
−β)=si
nαco
sβ−s
inβc
osα= sin \alpha cos \beta - sin \beta cos \alpha
=sinαc
osβ−
sinβ
cosα
= (s
inαc
osβ−
sinβ
cosα
)⋅r1
⋅r2r
1⋅r2
= \frac
=r1⋅r
2(s
inαc
osβ−
sinβ
cosα
)⋅r1
⋅r2
= x1
⋅y2−
x2⋅y
1r1⋅
r2= \frac
=r1⋅r
2x1
⋅y2
−x2
⋅y1
而這裡，我們要的只是sin()的符號，而r1和r2又都是恆正的，因此只需判斷x1 * y2 - x2 * y1的符號即可。
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