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解析幾何的巔峰如何判斷兩條直線是否相交？是 向量
那無關過程的狂妄與簡潔
對映著大自然無與倫比的美
這很容易。平面直線，無非就是兩種關係：相交 或 平行。因此，只需判斷它們是否平行即可。而直線平行，等價於它們的斜率相等，只需分別計算出它們的斜率，即可做出判斷。
但倘若我把「直線」換成「線段」呢——如何判斷兩條線段是否相交？
這就有些難度了。和 直線 不同，線段 是有固定長度的，即使它們所屬的兩條直線相交，這兩條線段也不一定相交。
也許你會說：分情況討論不就行了嘛：
的確，從理論上這是乙個可行的辦法，這也是人們手動計算時普遍採用的方法。
然而，這個方法並不怎麼適用於計算機。原因如下：
那麼，有更好的方法？
當然有。
# 點
class point(object):
def __init__(self, x, y):
self.x, self.y = x, y
# 向量
class vector(object):
def __init__(self, start_point, end_point):
self.start, self.end = start_point, end_point
self.x = end_point.x - start_point.x
self.y = end_point.y - start_point.y
對於「判斷兩條直線是否相交」這個問題，我們之所以能迅速而準確地進行判斷，是因為「相交」與「不相交」這兩個狀態有著明顯的不同點，即斜率是否相等。
那麼現在，為了判斷兩條線段是否相交，我們也要找出「相交」與「不相交」這兩個狀態的不同點。
假設現在有兩條線段 ab 和 cd，我們畫出它們之間的三種關係：
其中，情況 1 為不相交，情況 2、3 為相交。
作出向量 ac、ad、bc、bd。
首先介紹乙個概念：向量有序對的旋轉方向。這個概念指：對於共起點有序向量二元組(a, b)，其旋轉方向為使 a 能夠旋轉乙個小於 180 度的角並與 b 重合的方向，簡記為direct(a, b)。若a和b反向共線，則旋轉方向取任意值。
舉個例子：圖一中，direct(ac, ad)為順時針方向。
接下來我們要分析四個值：direct(ac, ad)、direct(bc, bd)、direct(ca, cb)、direct(da, db)。
對於圖一，direct(ac, ad)和direct(bc, bd)都為順時針，direct(ca, cb)為逆時針，direct(da, db)為順時針。
對於圖二，direct(ac, ad)為順時針，direct(bc, bd)為任意方向，direct(ca, cb)為逆時針，direct(da, db)為順時針。
對於圖三，direct(ac, ad)、direct(da, db)為順時針，direct(bc, bd)、direct(ca, cb)為逆時針。
不難發現，兩條線段相交的充要條件是：direct(ac, ad) != direct(bc, bd)且direct(ca, cb) != direct(da, db)。這便是「相交」與「不相交」這兩個狀態的不同點。
然而你可能會覺得：旋轉方向這麼乙個虛無飄渺的東西，怎麼用程式去描述啊？
再來看一幅圖：
再來定義有向角：
有向角不難看出，對於向量為 向量a逆時針旋轉到與 向量b重合所經過的角度。
a、b：
這樣一來，我們可以將旋轉方向的問題轉化為求有向角正弦值的問題。而這個問題，是很容易的。
如上圖，記
$$ oa = (x_1, y_1), ob = (x_2, y_2) $$
$$ |oa| = r_1, |ob| = r_2 $$
則$$ sin(\lt oa, ob\gt) $$
$$ = sin \theta $$
$$ = sin (\alpha - \beta) $$
$$ = sin \alpha cos \beta - sin \beta cos \alpha $$
$$ = \frac $$
$$ = \frac $$
而這裡，我們要的只是sin()的符號，而r1和r2又都是恆正的，因此只需判斷x1 * y2 - x2 * y1的符號即可。
終於到**部分了，想必大家都已不耐煩了吧。
在向量的輔助下，**顯得異常簡單。
zero = 1e-9
def negative(vector):
"""取反"""
return vector(vector.end_point, vector.start_point)
def vector_product(vectora, vectorb):
'''計算 x_1 * y_2 - x_2 * y_1'''
return vectora.x * vectorb.y - vectorb.x * vectora.y
def is_intersected(a, b, c, d):
'''a, b, c, d 為 point 型別'''
ac = vector(a, c)
ad = vector(a, d)
bc = vector(b, c)
bd = vector(b, d)
ca = negative(ac)
cb = negative(bc)
da = negative(ad)
db = negative(bd)
return (vector_product(ac, ad) * vector_product(bc, bd) <= zero) \
and (vector_product(ca, cb) * vector_product(da, db) <= zero)
數學 之 判斷線段相交的最簡方法
引子 如何判斷兩條直線是否相交？這很容易。平面直線，無非就是兩種關係 相交 或 平行。因此，只需判斷它們是否平行即可。而直線平行，等價於它們的斜率相等，只需分別計算出它們的斜率，即可做出判斷。但倘若我把 直線 換成 線段 呢 如何判斷兩條線段是否相交？這就有些難度了。和 直線 不同，線段 是有固定長...
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