總述
我們假設把原資料中心化處理之後為
pca(principle component analysis) 是一種降低資料維度的方法。接下來我分別用四種方法來推導一下（方法之間相互等價）。
我們通過方差來度量資料內的資訊量，我們可以看到，如果將資料投影到某個方向，比如方向1，或者方向2，當投影後的資料盡可能分散的時候，也就是方差盡可能大的時候，保留的資訊量是最大的，因此方向1是更好的。
於是，我們的問題就變成了：在多維空間下，如何選擇乙個最優的方向，來讓投影之後的資料保留最多的資訊量。於是我們假設這個方向的單位方向向量是
，在多維空間下投影之後的資料為
所以方差變為
於是我們求解的最優化的問題就是，如何使
利用拉格朗日乘子法求得
因此 就是s的特徵值，而
就是對應的特徵向量，
就是主成分。
還是上圖的例子，我們希望找到乙個方向，讓點到投影點的距離最小，損失的資訊最少。所以還是方向1更好一些，於是問題變成了
所以等價於
所以和上述方法其實是等價的。
在通過座標變換之後，即對原始資料進行線性變換後，盡量使得變換後的協方差矩陣
對角化（即使得除矩陣d對角線外的元素都為0）。這樣根據協方差矩陣的性質，可以使得變化後，不同特徵之間的相關係數最小，盡量不相關。
而這時我們會發現變換後的對角矩陣d對角線其實是s的特徵值（根據線性代數的知識），而p則是由對應的特徵向量組成。於是就需要我們對s進行特徵值分解
或者對x進行svd（也可以使s對角化）
考慮線性回歸模型
我們考慮對x做乙個變換，假設
是的特徵值，
是對應的標準正交化特徵向量，我們設
模型就會變為
我們就可以發現
, 每乙個特徵值
都對應第i個主成分的方差是多少，即在0左右的變動有多少。所以當一些特徵之間存在一些線性關係的時候，
就會有一些很小的特徵值。在這種情況下，我們如果捨去後幾個主成分的話，誤差也不會太大。
而且在一定條件下，這種方法可能會比普通的最小二乘估計的均方誤差更小。
（其實這種方法就是應用最大方差法結論反推，然後從代數方法解釋了一下。）
。。。就隨便寫寫，之後繼續完善吧。。。
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