如題所示，純粹就是列出來電路分析中需要的數學工具。不涉及證明，也不涉及分析，寫出來就是給自己查閱用的，誰讓我記啥忘啥呢（
老闆多加香菜：【電路手冊1】：矩陣zhuanlan.zhihu.com
老闆多加香菜：【電路手冊2】：拉普拉斯變換zhuanlan.zhihu.com
（雖然寫在這了，但是其實在實際計算中我從來沒用到過定義式…)
還有乙個拉普拉斯變換對也極其常用（雖然理論上來說是復頻域平移性質的直接應用），即
和 ① 線性性質：
② 微分公式：
不過常用的其實也就一階形式，即
③ 積分公式：
④ 頻域平移公式：
⑤ 時域平移公式：
⑥ 初值定理：若
在 處無衝激，則
⑦ 終值定理：若
及其導數
可進行拉氏變換，且
存在，則
（在不關心過渡過程時，初值和終值定理提供了乙個不進行反拉普拉斯變換快速求值的方法；即使我們關心過渡過程，這兩個定理也可以作為冗長計算後的檢驗手段）
（1）拉普拉斯變換：基本上是上述常用變換對+基本性質的使用。這裡再給出乙個週期函式拉普拉斯變換的公式，即
（2）反拉普拉斯變換：在電路計算中只涉及有理函式
（其中
和均為實係數多項式）的反拉普拉斯變換，視其極點的情況討論如下：
① 若
有不等負實根，則
其中 ，也可進一步整理為
根據線性性和復頻域的平移公式
① 若
有共軛復根
，同上可解得共軛復根
，則（另乙個方式是將
配湊成
的形式，作為乙個懶得記公式的憨憨我一直是這麼幹的…）
③若 有相等負實根，則
其中 ，
類推① 電阻
： ② 電感
： ③ 電容
： ④ 電源
： ⑤ 受控源：
（由於頻域形式下的基爾霍夫定律沒有發生形式上的變化，因此節點電壓法和迴路電流法的形式也沒有發生變化，可以直接套用時域的形式）
求解過程：
① 求解
時刻的電路
② 根據
時刻的
和 和
時刻的電路拓撲結構建立復頻域電路模型
③ 求解復頻域下的電路量
④ 由拉普拉斯反變換求解時域下的電路量（應當注意頻域和時域下的電感和電容直接不一定是對應的）
對於電路狀態方程
，對兩側進行拉普拉斯變換並整理得
對應的，作拉普拉斯反變換得到
（對於時域內狀態方程的求解，可以參考
老闆多加香菜：電路筆記：求解二階電路的數學細節zhuanlan.zhihu.com
ps我是真的沒想到上學期修的ode居然還能用到）
定義：在零狀態條件下，定義復頻域內的網路函式
為 （其中
和 分別為響應函式和激勵函式）
對於 激勵下的單位衝激響應
，由定義式很容易看出
與 構成拉普拉斯變換對
根據網路函式的極點分布可以預判電路動態過程的形式，具體來說如下圖所示
極點分布與電路動態過程的關係
卷積定理：若
，，則
卷積定理揭示了卷積到底是怎樣的一種運算（雖然這對於電路理論並沒有什麼用處）；另外，從卷積定理的角度很容易理解狀態方程時域和頻域解法（如下）的內在統一性：
頻域解：
時域解：
卷積 拉普拉斯 意義
數學定義 函式f與g的卷積記作f g，它是其中乙個函式翻轉並平移後與另乙個函式的乘積的積分，是乙個對平移量的函式 f t g t f g t f g t d 積分區間取決於f與g的定義域 對於離散域的函式，卷積的定義 f g m n f n g m n 1.卷積是求累積值，就是某一時刻的反應，是多個...
2 6 拉普拉斯定理
定義 1 n 級矩陣 a 中任意取定 k 行，k 列 1 leq k n 位於這些行和列交叉處的 k 2 個元素按原來的排法組成的 k 級矩陣的行列式稱為 a 的乙個 k 階子式。取定 a 的 i 1,i 2,dots i k 行 i 1 及 j 1,j 2,dots j k 列 j 1 所得的 k...
2 拉普拉斯分布
2 拉普拉斯分布 一元拉普拉斯分布的密度函式為 p x 12 exp x p x frac exp frac p x 2 1 e xp x 從函式影象看，拉普拉斯密度函式是個尖峰曲線，關於 mu 對稱，在 mu 處函式值最大，遠離中心點 mu 函式值快速下降，下降速度是指數。mu 稱為位置引數，si...