我們知道，一元二次方程
一元三次方程
1、為了解最初的方程，我們可以先考慮將方程變形成
；2、這個形式可以進一步化簡。回顧一元二次方程的求根公式，我們採用的是配方法，將其變成和的平方的形式然後開方即可得到求根公式，這裡最高次是3次，所以我們可以考慮配立方。
因為 和1中的式子比較發現，我們可以把
這項併入和的立方裡面。於是1中的方程可以成
然後，令
於是上面的方程可以變形成為
整理可得
故而我們可以得到乙個結論，所有的一元三次方程都可以化成上面那樣的簡單形式，因此只要找到
這個方程的解法，我們就能夠解出所有的一元三次方程了；
3、
的解法。關於這個方程的解法，首先我們知道，三次函式的值域是r，因此這個三次方程一定至少有乙個實根。
不妨設這個實根
，我們得到乙個新的方程，將這個方程兩邊同時立方，得到
顯然這兩個方程可以是同乙個方程。比較係數，得到方程組
根據一元二次方程的韋達定理，不難發現a和b就是方程
兩個根
。
如果想不到韋達定理，單純消元也可以得到上面的一元二次方程。
因此不難解出
這樣，我們可以用得到的a和b的值求出
，從而得到原方程的根。
但這裡會出現乙個問題，求根公式裡面有根號，a b不一定求出是個實數，如何確保
是實數？
由一元二次方程有判別式可以推知，顯然一元三次方程也有判別式，而且判別式通過上面的計算已經知道了
因此按如下情況討論。
為了便於說明，需要提前說明幾個概念：
a.定義
，即虛數。在虛數的範圍內，負數允許開平方；
b. ；
c. ;
d.在虛數範圍內，
方程有三個根，
可以計算出，
，因此若設
，那麼該方程的三個根可以表示為
有了以上幾個概念，我們來討論一元三次方程根的情況
由上述d可知，
;同樣的，
結果可以表示為
因此ab可以組合出9種情況。但我們前面有
，因此實際上滿足條件的a b僅有三組。
即t有三個根，分別為：
; ;
1.若
，顯然
都是虛數，因此一元三次方程僅有乙個實根和兩個虛根；
2.若
，則a=b，那麼
，且為共軛虛數之和，因此一元三次方程有兩個相等實根和另乙個實根；
3.若
， 都是實根，故而一元三次方程有三個不相等的實根。
以下為拓展內容
1.上述c的證明。
證：已知尤拉公式，
, 令
則由尤拉公式，可知
因此，
同理，
故而，
，證畢。
2.由求根公式有時候算出的數字極其鬼畜，但實際上結果卻非常簡單。
比如方程，
,採用求根公式計算，算出判別式δ>0,因此僅有乙個實根。
算出實根x=
本來這就是這個方程的實根，但簡單估算一下，發現x=4也是原方程的實根。我們拿科學計算器將上面那一大串數字輸入以後，得到的結果也是4.
那麼上面那一大串數字是如何等於4的。
將 ,即要將這個無理根式開三次方。這裡採用如下技巧：
考慮到
,找到a和b的值令其右邊等於
，那麼a+b就是
開立方所得的數字。
,因此可以設立方根為
,那麼
和上式對比，發現
考慮到m+2>2,因此m>0，取
。 將m值代入m+2並立方，發現立方的結果就是
故而 同樣的方法，可以得到
因此 ps：如果用上述方法求出m後，並不能還原，那麼說明原無理式不能開立方，那就是乙個純粹的無理數了。
3.若判別式δ<0，算出的a b為虛數，那麼如何將虛數化成實根，並求出另外兩個根。
比如方程
,採用求根公式計算，得到δ<0，且乙個實根為
將虛數共軛虛數之和化成實數，一般採用尤拉公式。 由1中的證明，我們可以做如下變化。
然後採取三倍角公式求出cos(t/3)後代入即可得到確切的實數解。
但如果方程解如果是特殊的有理數解，和2中的方法類似，採用特值的方法，看看能不能分解出相應的因式從而簡化計算。
,即有
實部相等，虛部相等。有
和 b是多少我們不關心，最終結果會消去，我們只要求出a就可以了。 因此消去b，整理，最終可以得到乙個僅含a的方程。
……式子1
我們要看這個方程是否有特解，即有理數解。等式右邊為乙個帶根號的無理數，要找到a的有理根解，顯然必須要保證
再稍加整理，得到
確保k是有理數，考慮a=1，代入式子1當中，發現式子成立 因此我們找到了a=1 於是原方程的乙個根為
然後採用分解因式的方式。令
將右邊拆開，對比係數，得到
所以有
,解得
因此原方程的三個根為
最後的話：碼這些字比想象中還要花時間。。本來打算把一元四次方程解法也寫上的，發現時間嚴重超了。。只能下次有機會再碼了~
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