一般地，設 a，b是非空的實數集，如果對於集合a中的任意乙個數 x ，按照某種
確定的對應關係 f ，在集合 b 中都有唯一確定的數 y 和它對應，那麼就稱 f ： a → b 為從 集合 a 到集合 b 的乙個函式 (function)，記作 y ＝ f(x) ， x ∈ a ．
這個定義絕大多數同學都背不下來，也很難以理解其中的意思，這就導致了很多同學不理解函式到底是什麼？原因就在於這個定義說的太過於官方，而今天我在這裡和大家說乙個通俗的概念，什麼是函式?函式，就是把x變成y的過程，就是把自變數變成因變數的過程，函式是乙個過程，它需要三個元素參與，第1個是輸入量，第2個是輸出量，第3個是如何作用，於是就有了函式三要素。輸入量就是自變數x，x的取值範圍就是定義域，輸出量就是因變數y，y的取值範圍就是值域，中間的對應法則就是f，我們可以用影象法表示，也可以用列表法表示，也可以用解析式來表示，通常我們用來解析式來表示。比如說我們經常吃的爆公尺花，它就是乙個函式，輸入量是玉公尺，輸出量是爆公尺花。對應法則就是給它加熱。再比如說我們人也是乙個函式，我們每天都要吃點什麼，然後我們再去排點什麼，我們吃的是x，排的是y，對應法則就是f。
了解了函式概念是什麼？接下來咱們就聊一聊函式的三大要素，定義域，值域和對應法則。定義域的求解，通常我們分為具體函式，還有抽象函式。具體函式，我們整個高中內學過的自帶定義域的函式，一共是5個，分別是根分對tan 0次冪。而抽象函式只需要記住乙個口訣就可以了，定x，狗相同，定義域的取值範圍就是x的取值範圍，括號裡邊那一坨，我們把它叫做狗，狗的範圍要相同。
接下來我們就看一下具體例題，前兩個題是具體函式求解。
第3題是利用定義域求解引數範圍，也是考察定義域的乙個非常常見的題型。這種題型一定要分類討論，先看函式是一次函式，還是二次函式。再根據函式根的分布情況討論引數的取值範圍。
下面這兩個函式就是抽象函式求解定義域了，抽象函式求解定義域要記住它的口訣，定x，狗相同。定義域的取值範圍就是x的取值範圍，我們把括號裡面那一坨叫做狗，狗的取值範圍要相同。
接下來就是求解函式的解析式了，求解函式解析式通常有代入法，換元法，待定係數法，分組法。我們一一進行討論，第1種方法代入法，也是最簡單的，就是把括號裡邊的一坨帶到原來的解析式裡面即可。第2種方法叫換元法，就是把括號裡面那一坨換成個狗，然後用狗表示出來x，再把x帶到原來的解析式裡面即可。換元法要注意換元之後的取值範圍。
待定係數法就是將題意當中已知的函式型別，我就把它設出來，一次函式設y=ax+b.二次函式設y=ax2+bx+c，這樣的話我們把設的解析式帶到題意的等式裡面去，運算，整理。最終對應的係數相等即可。方程組法就是解析式當中有x和-x或者是有x和1/x，這樣的話我就把x變成-x，或者是把x變成1/x，然後我就得到了兩個方程，聯立這兩個方程就能夠解出來函式的解析式。
求解值域的方法有很多，有分離常數法，換元法，單調性法，判別式法，均值不等式法，反函式法等等，我們這裡只**前三種方法，因為這三種方法用的比較多。分離常數法主要針對的是分式，就是把分子的常數給它分離出來，分式之所以難以處理，是因為分子上有自變數x。 數學上有乙個思想叫做誰膈應，就把誰乾掉。分離常數法的思想就在於把分子上的常數給它乾掉。同樣的道理，第2題之所以膈應，在於分子上的自變數x。我們就想方設法把它乾掉，上下同時除乙個x，就把它乾掉了。分子變成了1，分母就變成了對勾函式。而對勾函式是我們能夠把控的，此題化簡到這兒就容易的多了。
第3題的處理方法同樣是將分子上的x給它乾掉，但是上下同時除以乙個x，我們發現並沒有把x給乾掉，這時候我們怎麼處理呢？我們就讓分子上的這一坨看成乙個自變數t，然後上下同時除以t，這個時候，不就把它給乾掉了麼？
換元法是一種非常重要的方法，主要有代數換元法和三角換元法兩種換元法，代數換元法，適用型別是根號下x的次數是1次的。
三角換元法適用的型別是根號下x的次數是2次且和常數作差的。單調性法也是求解函式值域的一種常用方法，它通常是易於判斷函式的單調性，並且給定的區間是閉區間的。
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