分式函式是高中非常常見的一類函式，對勾函式是分式函式的特例，本文重點在於如何畫出分式函式的圖象，有了圖象，各種問題都可以迎刃而解．分式函式形如$f(x)=\dfrac $，其中$m(x),n(x)$都是多項式函式，在這裡預設$m(x),n(x)$沒有公因式，且$n(x)$的次數不小於$1$．比較常見的是一次分式函式$$f(x)=\dfrac ,c\ne 0$$與二次分式函式$$g(x)=\dfrac ,a^2+m^2\ne 0.$$
一次分式函式
對一次分式函式$$f(x)=\dfrac ,ac\ne 0,$$可以用分離常數法將分子變成不含$x$的常數$$\begin f(x)=&\dfrac =\dfrac \\=&\dfrac\\=&\dfrac ac+\dfrac }.\end $$記$m=\dfrac $，則$f(x)$的圖象為反比例函式$y=\dfrac $經過平移得到的，從而知$f(x)$的定義域為$\left\$，值域為$\left \$．
例題一 (1)已知$f(x)=\dfrac $，則$f(x)$的定義域為______，值域為_______，單調性是_______________；
(2)已知$f(x)=\dfrac $在$(1,2)$上單調遞增，則$m$的取值範圍是___________．
分析與解 (1)分離常數得$$f(x)=\dfrac 32+\dfrac ,$$所以$f(x)$的定義域為$\left\$，值域為$\left\$，在區間$\left(-\infty,\dfrac 12\right )$與$\left(\dfrac 12,+\infty\right )$上單調遞減；
(2)分離常數得$$f(x)=\dfrac =m+\dfrac .$$由$f(x)$在$(1,2)$上單調遞增知$2-m^2<0$，解得$m>\sqrt 2$或$m
綜上知，$m\leqslant -2$或$m>\sqrt 2$．
注 事實上只需要$-m\notin (1,2)$即可．
在介紹二次分式函式前，先來看看對勾函式：
形如$$y=ax+\dfrac bx,ab\ne 0$$的函式稱為對勾函式．因為函式$y=a\left(x+\dfrac mx\right ),m=\dfrac ba\ne 0$與函式$f(x)=x+\dfrac mx$的單調區間相同($a>0$)或相反($a<0$)，為了方便，我們直接看函式$f(x)=x+\dfrac mx$的圖象，通過求導或者由單調性的定義可得到$f(x)$的單調區間，如圖：
當$m<0$時，$f(x)$在$(-\infty,0)$與$(0,+\infty)$上單調遞增；當$m>0$時，$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt m)$與$(\sqrt m,+\infty)$上單調遞增，在$(-\sqrt m,0)$與$(0,\sqrt m)$上單調遞減．
二次分式函式
對於二次分式函式$$g(x)=\dfrac ,$$$a,m$不同時為零，我們先就最一般的情況討論，即各引數均不為零的情況：
①先通過分離常數法將分子化為一次式，得到形如$y=\dfrac +\dfrac am$的函式；
②令$t=x+\dfrac ed,d\ne 0$，當$t\ne 0$時有$$y=\dfrac +\dfrac am=\dfrac \right )+\dfrac qd}+\dfrac am.$$於是我們知道，二次分式函式的圖象可以由乙個對勾函式的圖象平移後「取倒數」再平移得到．
特別地，當$a=0,b=0$時，二次分式函式是乙個二次函式的倒數；
當$m=0$時，直接對分母換元，對應的二次分式函式直接由乙個對勾函式平移得到．
於是，我們知道所有二次分式函式都可以由對勾函式或二次函式的圖象得到．下面以具體二次分式函式為例看看取倒數後圖象的變化情況．
例題二 請畫出下列函式的草圖，並寫出單調區間．
(1)$f(x)=\dfrac $，$g(x)=\dfrac $；
(2)$f(x)=\dfrac $，$g(x)=\dfrac $；
(3)$f(x)=\dfrac $，$g(x)=\dfrac $．
分析與解 (1)$f(x),g(x)$分別是對勾函式$y=x+\dfrac 1x$與$y=x-\dfrac 1x$的倒數，所以它們的圖象如下：
由復合函式的單調性或求導得到$f(x)$在$(-\infty,-1)$與$(1,+\infty)$上單調遞減，在$(-1,1)$上單調遞增；$g(x)$在$(-\infty,-1)$，$(-1,1)$，$(1,+\infty)$上都單調遞減．
(2)先畫出二次函式的圖象，再根據上面的分析類似得到它的倒數的圖象：
$f(x)$在$(-\infty,-1)$上單調遞增，在$(-1,+\infty)$上單調遞減；$g(x)$在$(-\infty,-2)$與$(-2,-1)$上單調遞增，在$(-1,0)$與$(0,+\infty)$上單調遞減．
(3)因為$$f(x)=1-\dfrac =1-\dfrac 2,$$我們可以由$y=x+\dfrac 1x$的圖象向上平移乙個單位，取倒數，再關於$x$軸對稱，最後向上平移乙個單位得到$f(x)$的圖象，如圖：所以$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$(1,+\infty)$上單調遞增；在$(-1,1)$上單調遞減．
下面看$g(x)$：令$t=x-1$，則$g(x)=\dfrac $，先研究函式$y=\dfrac $的圖象，再向右平移乙個單位即可得$g(x)$的圖象．
因為$y=\dfrac =\dfrac $，先畫函式$y=x+\dfrac 2x+3$的圖象，注意它的單調性變化的點$x=\pm\sqrt 2$與零點$x=-1,-2$，再根據取倒數後每個單調區間單調性相反可得：最後將此函式的圖象向右平移乙個單位即可，圖略．最後得到$g(x)$在$(-\infty,-1)$，$(-1,-\sqrt 2+1)$上單調遞減，在$(-\sqrt 2+1,0)$，$(0,\sqrt 2+1)$上單調遞增；在$(\sqrt 2+1,+\infty)$上單調遞減．
最後給出兩道練習：
練習一 (1)已知$f(x)=\dfrac $，則$f(x)$的定義域為______，值域為_______，單調性是_______________；
(2)已知$f(x)=\dfrac $在$(-1,1)$上單調遞增，則$m$的取值範圍是___________．
答案 (1)$\left\$，$\left\$，在$\left(-\infty,-\dfrac 12\right )$與$\left(-\dfrac 12,+\infty\right )$上單調遞增．
(2)$(-\sqrt 3,-1]\cup[1,\sqrt 3)$．
練習二 畫出函式$f(x)=\dfrac $與$g(x)=\dfrac $的草圖．
提示注意單調性變化的點，定義域中的間斷點以及無窮遠點．
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