分式函式的變換源

①初中學習過的反比例函式，$y=\cfrac$，是高中數學中分式函式研究和學習的源頭。

結合影象，我們可以自行分析總結其性質：定義域、值域、單調性，奇偶性、週期性、對稱性等等；

補充對稱性：對稱中心為$(0,0)$；對稱軸為$y=\pm x$；

②高中學習過的對勾函式，$y=x+\cfrac$，是高中數學中分式函式研究和學習的另乙個源頭。

$f(x)$=$\cfrac$我們稱$\cfrac$為整體分式，由於分子分母位置都有自變數，如果不對其作相應的變形，則我們根本看不透其單調性；

$\quad$=$\cfrac$$=$$1+\cfrac$我們稱$1+\cfrac$為部分分式；其中第一部分$1$為整式，第二部分$\cfrac$為分式，由於整體不是分式，故稱為部分分式；不過這個等價變形太好了，自變數只出現在部分分式的分母位置上，這樣非常方便判斷單調性，也方便我們做函式的影象

[方法儲備]：上述變形中最常用的兩個變形為換元法和配湊法；

作函式$g(x)=\cfrac$的影象；

分析：準備作圖前的變換，$g(x)=\cfrac=1+\cfrac$；選$y=\cfrac$為變換作圖的模板函式，開始變換如下，

[基本作圖]：$y=\cfrac$

$\rightarrow$

$y=\cfrac$

$\rightarrow$

$y=1+\cfrac$

$\rightarrow$ 對稱中心為$(1,1)$；

[快速作圖]：相當於基本作圖的簡化版本，首先找到對稱中心$(1,1)$，過此點分別作直線$x=1$和$y=1$，這是兩條漸*線；由兩條漸*線將*面分為類似的第ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ四個象限，此時觀察部分分式的分子[請確保分式的前面是$+$號，如果是$-$號，將減號移到分子上，部分分式的前面仍然寫加號]，如果分子為正，則在類第ⅰ和類第ⅲ象限內作函式的影象，如圖所示；

如果分子為負，則在類第ⅱ和類第ⅳ象限內作函式的影象；

作函式$y=\cfrac$的影象；

分析：先做相應的變形，$y=\cfrac=\cfrac)})}=\cfrac\cdot \cfrac}}$

$=\cfrac\cdot (1+\cfrac}})=\cfrac+\cfrac}}$

快速作圖：對稱中心為$(\cfrac,\cfrac)$；$\cfrac>0$，在類第ⅰ和第ⅲ象限作圖，如下所示：

引申結論：①函式$f(x)=b+\cfrac$，$a$，$b$，$c$為常數，則其對稱中心為$(a,b)$；

②如果$c>0$，則單調遞減區間為$(-\infty,a)$和$(a,+\infty)$；如果$c<0$，則單調遞增區間為$(-\infty,a)$和$(a,+\infty)$；

③其解析式必然滿足$f(x)+f(2a-x)=2b$；

$f(x)=\cfrac\stackrelf(x)=\cfrac$，

再如$g(x)=\cfrac\stackrelg(x)=\cfrac$，

解後反思：有些複雜的分式，通過換元可以轉化為上述比較簡單的形式；

如$h(x)=\cfrac$，

如[配湊法]$h(x)=\cfrac=\cfrac=(x-2)+\cfrac$，

或[換元法]令$x-2=t$，則$x=t+2$，

故$h(x)=\cfrac=\cfrac=t+\cfrac$

即$h(x)=t+\cfrac=(x-2)+\cfrac$

如$n(x)=\cfrac$；

如$n(x)=\cfrac$；則$n(x)=\cfrac=\cfrac+1}$

如$g(t)=\cfrac=\cfrac}$；如$h(t)=\cfrac=\cfrac+2(\cfrac)^2\stackrel=m}h(t)=2m^2+3m$;

函式$y=\cfrac$，$x\in(m, n]$的最小值為$0$，則$m$的取值範圍是【】

$a.(1,2)$ $b.(-1,2)$ $c.[1,2)$ $d.[-1,2)$

解：當$x=2$時，$y=0$，根據題意$x\in(m, n]$時，$y_=0$，則$n=2$，

所以$m$的取值範圍是$-1\leqslant m<2$，故選$d$.

若定義域為$x\in [m,n]$，則此時$m$的取值範圍是$(-1,2]$.

分式函式變形後，極有可能和反比例型函式、二次型函式、對勾型函式建立關聯，然後向後繼續變換即可。

分式函式的變換源

奇怪的分式

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奇怪的分式

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