在導數中，我們經常遇到這樣的問題，題目條件給出乙個與$f(x)$與$f'(x)$都相關的函式不等式，要解決某些與該函式相關的不等式問題，如
定義在$\left(0,\dfrac \right )$上的函式$f(x)$的導函式為$f'(x)$，且恒有$f(x)\cdot\tan x
a．$\sqrt 3f\left(\dfrac \right )>\sqrt 2f\left(\dfrac \right )$
b．$f(1)<2f\left(\dfrac \right )\sin 1$
c．$\sqrt 2f\left(\dfrac \right )>f\left(\dfrac \right )$
d．$\sqrt 3f\left(\dfrac \right )
關鍵是題中不等式如何利用，我們知道$$(\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x,$$於是建構函式$f(x)=f(x)\cos x$，由題中不等式得$$[f(x)]'=\cos x\big(f'(x)-f(x)\cdot \tan x\big)>0.$$即$f(x)$在$\left(0,\dfrac \right )$上單調遞增，從而有$$f(0)
這類問題，通常都是根據所給函式不等式的形式去構造出新的函式$f(x)$，使得題中的函式不等式為$f'(x)$的乙個因式，從而得到$f'(x)$的正負，推導出想要的結論，如何構造新的函式有下面兩個最常見的模型：
模型一 $$\big(^\cdot f(x)\big)'=^\big(af(x)+f'(x)\big),$$當$a=1$時，會出現因式$f(x)+f'(x)$；當$a=-1$時，會出現因式$f(x)-f'(x)$，這是此模型中最常見的兩種形式；
模型二 $$\big(x^b\cdot f(x)\big)'=x^\big(bf(x)+xf'(x)\big),$$當$b=1$時，會出現因式$f(x)+xf'(x)$；當$b=-1$時，會出現因式$f(x)-xf'(x)$，這是此模型中最常見的兩種形形式．
例題一 設定義在$\mathcal$上的函式$f(x)$的導函式為$f'(x)$，且滿足$f'(x)
分析與解 由模型一知，當$a=-1$時，有$$\big(f(x)\cdot ^\big)=^\big(f'(x)-f(x)\big),$$於是建構函式$f(x)=f(x)\cdot^$知$f'(x)<0$，即$f(x)$在$\mathcal $上單調遞減，所解不等式即$$f(x)=f(x)^<1=f(0),$$所以$x>0$，所求解集為$(0,+\infty)$．
這類問題還常常與函式的奇偶性結合在一起考察，如：
例題二 已知定義在$\mathcal$上的奇函式$f(x)$的導函式為$f'(x)$，當$x\ne 0$時，$f'(x)+\dfrac >0$，若$a=\dfrac 12f\left(\dfrac 12\right )$，$b=-2f(-2)$，$c=\left(\ln\dfrac 12\right )f\left(\ln\dfrac 12\right )$，則$a,b,c$的大小關係為________．
分析與解 由模型二知$$f'(x)+\dfrac =\dfrac ,$$於是建構函式$f(x)=xf(x)$，有$$\big(x>0,f'(x)>0\big)\land \big(x<0,f'(x)<0\big),$$即函式$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增．又因為$f(x)$是定義在$\mathcal$上的偶函式，且由$\dfrac 12
下面給出兩道練習：
練習一 已知定義在$\mathcal$上的奇函式$f(x)$的導函式為$f'(x)$，$f(-1)=0$，當$x>0$時，$xf'(x)-f(x)<0$，則$f(x)>0$的解集為_______．
答案 $(-\infty,-1)\cup (0,1)$．
提示 建構函式$f(x)=x^f(x)$．
練習二 已知定義在$\mathcal$上的函式$f(x)$的導函式為$f'(x)$，且$2f(x)+xf'(x)>x^2$，下面的不等式在$\mathcal$上恆成立的是( )
a．$f(x)>0$
b．$f(x)<0$
c．$f(x)>x$
d．$f(x)
答案 a
提示 建構函式$f(x)=x^2f(x)$，注意需要利用$x^3$去決定導函式的正負．
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