當我瀏覽網易公開課的時候，一門麻神理工大學的線性代數讓我眼前一亮，在大一混過《高等代數》又上過一學期《線性模型引論》後，深知自己代數功底爛到樹根，所以我開啟這門課。
不愧是gilbert strang，一門線性代數講的這麼直觀，這麼通俗易懂。正巧，《線性模型引論》中有不少遺留和沒有搞懂的問題，今天，**到第十五課，正交投影陣以及最小二乘法的幾何意義豁然明朗，一直搞不懂《線性模型引論》中正交投影陣是對稱冪等陣的原因也在這裡得到了解釋。
正交投影陣的幾何意義以及性質**a，b:是n*1的向量。
很明顯，b在a上的投影就是p，它是a的子集，所以p=xa，x是常數。e和a（xa）垂直，所以有：
變換後得到:
再給兩邊同時乘以a，就得到了：
很顯然，這時候我們得到了正交投影陣：
注意：倆個p不一樣，前乙個是投影，上圖是矩陣。
顯然，分母是向量長度的平方，分子是矩陣，而且是乙個對稱陣。
我在b上作用倆次p，得到的都是同乙個向量——p=xa。所以，p的平方等於p，冪等。
為什麼研究正交投影？因為，ax=b沒有解的情況，我們需要處理。很典型的想法，就是，我們找乙個使得b到a的列空間「距離」最短的x。
所以，我們會有e=b-p，稱之為「誤差向量」，讓它的長最短！故，垂直關係就是我們需要的。
現在，我們推廣n維的正交投影。
我們看到，同一維的想法一樣時，假設三維空間下，b到乙個平面的投影p，影象很清晰的表達了我想說的。
當然p可以由該平面的倆個向量合成，所以有了右下角的倆個式子。
為了解出最小誤差（誤差向量垂直col space），我們有如下方程組，然後寫成矩陣的形式：
這時候，我們會發現，e只要正交於a轉置，即e屬於a轉置的零空間，垂直於a的列空間，如圖：
接下來推到高維投影陣，當然性質同上，如圖:
正交投影矩陣
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