譜半徑：矩陣最大絕對特徵值
標準定義：設 a∈c
n×
n\boldsymbol a \in \mathbf^
a∈cn×n
的 nn
n 個特徵值為 λ1,
λ2,⋯
,λn,
\lambda_, \lambda_, \cdots, \lambda_,
λ1,λ2
,⋯,
λn,稱ρ(
a)
=maxi
∣λi∣
\rho(\boldsymbol)=\max _\left|\lambda_\right|
ρ(a)=i
max∣λ
i∣為 a
aa 的譜半徑 ...
定理 2.9
2.9 \quad
2.9設 a∈c
n×n,
\boldsymbol a \in \mathbf^,
a∈cn×n
, 則對 cn×
n\mathbf^
cn×n
上任何一種矩陣範數 ||・||，都有
ρ (a
)⩽∥a
∥\rho(\boldsymbol) \leqslant\|\boldsymbol\|
ρ(a)⩽∥
a∥證：設 a
\boldsymbol a
a 的屬於特徵值 λ
\lambda
λ 的特徵向量為 x
,\boldsymbol x,
x,取與矩陣範數 ∥⋅∥
\|\cdot \|
∥⋅∥ 相容的向量範數 ∥⋅∥
v\|\cdot\|_
∥⋅∥v
，則由 ax=
λx
,a x=\lambda x,
ax=λx,
可得∣λ∣∥
x∥v=
∥λx∥
v=∥a
x∥v⩽
∥a∥∥
x∥
v|\lambda|\|\boldsymbol\|_=\|\lambda \boldsymbol\|_=\|\boldsymbol \boldsymbol\|_ \leqslant\|\boldsymbol\|\|\boldsymbol\|_
∣λ∣∥x∥
v=∥
λx∥v
=∥a
x∥v
⩽∥a∥
∥x∥v
因為 x≠0
,\boldsymbol x \neq 0,
x=0,
所以∣λ∣⩽
∥a
∥|\lambda| \leqslant\|\boldsymbol\|
∣λ∣⩽∥a
∥對 a
\boldsymbol
a 的任一特徵值成立,從而 ρ(a
)⩽∥a
∥\rho(\boldsymbol) \leqslant\|\boldsymbol\|
ρ(a)⩽∥
a∥。證畢。
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